Categoria: Matemática

A História do Símbolo do Infinito

Os Matemáticos estabeleceram a notação aparentemente críptica das fórmulas não como linguagem secreta, mas como maneira de aumentar a clareza. O símbolo de infinito é um dos primeiros exemplos disso.

A literatura matemática de antigamente era, pelo menos à primeira vista, mais compreensível e acessível do que hoje, pois para descrever objetos matemáticos e suas relações, os autores utilizavam a linguagem escrita corriqueira de então.

O século XVII representou um salto no desenvolvimento da matemática e das ciências naturais. Entre outras coisas, foi criado o cálculo diferencial e integral para tratar de problemas físicos concretos, relativos ao movimento e velocidades dos corpos. Na virada para o século XVIII, Isaac Newton (1643−1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646−1716) lançaram as bases de uma teoria sistemática. Essa evolução geral de conteúdo na matemática favoreceu o nascimento da linguagem de fórmulas.

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O inglês John Wallis (1616−1703) foi um dos estudiosos mais ligados a esse desenvolvimento formal da matemática de seu tempo. Além de introduzir uma série de simplificações na escrita algébrica, ele foi o primeiro a abreviar o conceito de “infinito” com o símbolo ∞.

O problema do infinito – seu significado para a matemática, a filosofia e a teologia – era debatido havia mais de 2 mil anos. Utilizada por Aristóteles, a palavra grega “apeiron” já se destacava no tempo pré-socrático pela sua multiplicidade de significados. Ela queria dizer sem limites, incerto, absurdamente grande, e possuía também uma conotação negativa, correspondente ao caos do qual o mundo se formou. Aristóteles, de fato, via a infinitude como imperfeição. Foi somente no início da era cristã que se identificou o “infinito” ao “Um” divino.

As reflexões metafísicas da Idade Média, acerca da natureza do infinito e da essência do contínuo, prepararam o terreno para a abordagem matemática do cálculo infinitesimal no século XVII. Por exemplo, ao descartar os métodos dos antigos no cálculo de superfícies, comparar um círculo com um polígono de infinitos lados e calcular a superfície do círculo como soma de muitos triângulos, Johannes Kepler (1571−1630) tomou por base considerações filosófico-teológicas feitas por Nicolau de Cusa (1401−1464) a respeito do infinito real e potencial.

A Algebrização da Geometria

Um aluno de Galileu, Bonaventura Cavalieri (1598−1647), foi quem adotou a visão de que a leis que valem para grandezas infinitas são diferentes das que aplicam às finitas. Com seu método dos indivisíveis ele estava menos preocupado com especulações filosóficas do que obter uma maneira prática de solucionar problemas, e conseguiu contornar certas dificuldades na soma de grandezas infinitamente pequenas.

Em seus trabalhos matemáticos, John Wallis aprimorou métodos de Cavalieri. Depois da faculdade. Quando ainda não tinha nenhuma relação com a matemática, foi ordenado sacerdote em Londres. Durante esse tempo, colaborou para a fundação da Royal Society, e em 1643 ganhou um prêmio especial por sua participação na guerra civil como decifrador de mensagens secretas.

Quando Wallis se tornou professor da cadeira Savilian de geometria, na Universidade de Oxford, isso não aconteceu por reconhecimento de suas realizações matemáticas, mas como agradecimento por suas atividades políticas. No entanto, ele logo provou ter méritos para essa posição acadêmica. Até hoje é lembrado como precursor do cálculo infinitesimal e principal antecessor de Newton, o qual foi bastante influenciado por sua obra Arithmetica infinitirum, de 1656.

Antes, Wallis já escrevera um trabalho (De sectionibus conics, 1655) em que se distanciava da concepção matemática grega ao descrever as seções da esfera como curvas planas, às quais correspondiam equações algébricas. Deduziu então as propriedades dessas seções diretamente das equações, sem argumento geométrico. Participou, assim, de um dos desenvolvimentos centrais da história da matemática, a algebrização da geometria.

Foi nessa obra que Wallis introduziu, pela primeira vez, uma modificação nas considerações de Cavalieri. Enquanto as superfícies de Cavalieri se dividiam em uma quantidade infinita de pedaços, Wallis fala de uma superfície como a soma de um número infinito de paralelogramos de igual tamanho, e descreve esse tamanho como uma “parte infinitamente pequena, 1/∞ do tamanho total, e o símbolo ∞ representa o infinito”.

A Possível Origem do Símbolo

Podemos apenas especular acerca das razões que o levaram a escolher esse símbolo. Wallis era filólogo bem antes de ser matemático, e sabia que o símbolo utilizado pelos romanos para o número 1.000 (M) podia representar também “um número muito grande”. O matemático e filósofo holandês Bernhard Nieuwentijt (1654−1718) aproveitou, em seu trabalho Analysis infinitorum, de 1695, o símbolo “m” para o infinito. O novo símbolo de Wallis, porém, não tinha nenhum outro uso em matemática, além de ser bastante sugestivo, como laço que sempre retorna a si mesmo, como sugere a sequência representada abaixo:

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No começo do século XVIII, o símbolo entrou na literatura matemática e filosófica, sempre relacionado ao conceito do infinitamente pequeno, cuja legitimidade e significado estavam amparados pelo cálculo infinitesimal que nascia. Com o trabalho de Leonhard Euler (1707−1783), que adotou um ponto de vista formal e não admitiu legitimações metafísicas para as grandezas infinitamente pequenas, o símbolo ∞ tornou-se parte integrante da linguagem matemática.

No transcorrer do século XIX, a teoria das grandezas infinitesimais foi definitivamente substituída pela moderna teoria do cálculo diferencial e integral, que passou a exigir, com base no estudo de conceitos como os de continuidade e convergência, um cuidado crescente com a exatidão formal e lógica. O símbolo ∞ indicava, como hoje, processos de passagem ao limite: ele descreve, no sentido de Aristóteles, um infinito potencial.

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George Cantor (1845−1918), fundador da teoria dos conjuntos e, portanto, da moderna teoria matemática do infinito real, preferiu separar os dois tipos de infinito também simbolicamente. Ele representou o primeiro número transfinito (infinito real) como ℵ0 (álefe zero). Essa escolha parece arbitrária só à primeira vista, pois a partir de 1700, o símbolo ∞ começou a ser utilizado também fora da matemática e da filosofia, para a representação do infinito ou da eternidade – por exemplo, nas cartas de tarô que representam o mago ou o trapaceiro. O correspondente símbolo cabalístico era a letra hebraica álefe.

Autor: Kleber Kilhian

Fonte: O Baricentro da Mente

Referências

[1] Scientific American – Edição Especial nº 15: As diferentes faces do infinito

A História do Número Zero

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Pensar no zero como representando o nada está errado. O fato é que o zero está na base de dois, ou três, importantes avanços da matemática. A história remonta um tempo antes de 1600 a.C., no berço da civilização: a Mesopotâmia. Nessa época, os babilônios tinham desenvolvido um sistema posicional para escreverem números, baseado no agrupamento de 60, de onde heranças desse sistema é a marcação do tempo em minutos e segundos. Era chamada escrita cuneiforme, pois os símbolos usados tinham a forma de cunha, onde os dois símbolos básicos eram:

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Assim, os símbolos eram repetidos e agrupados para representarem qualquer número de contagem de 1 a 59. Por exemplo, para representar o número 72, faziam:

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com um pequeno espaço separando a posição do 60′s da posição dos 1′s. Fazer um estudo sobre a numeração babilônia não é o intuito deste artigo, portanto, para mais detalhes sugiro procurar outra fonte de pesquisa.

Mas havia um problema com esse sistema. O número 3.612 era escrito:

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que equivale a dizer: 3.600=602 e 12 uns, com um pequeno espaço extra para mostrar que o lugar dos 60′s estava vazio. Como essas marcas eram feitas rapidamente apertando um instrumento em forma de cunha em tábuas de barro macio, o espaçamento não era sempre consistente. Saber o valor real muitas vezes dependia entender o contexto do que se estava sendo descrito. Em algum momento entre 700 e 300 a.C., os babilônios começaram a usar seu símbolo para indicar fim de sentença (usaremos um ponto) para mostrar que um lugar estava sendo saltado, de modo que 72 e 3.612 se tornaram respectivamente:

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Assim, o zero começou sua vida como “ocupante de lugar”, um símbolo para indicar um espaço vazio, ou que algo foi saltado.

O crédito para o desenvolvimento do sistema de valor de posição decimal que usamos hoje pertence aos hindus, em algum momento antes de 600 d.C.. Eles usavam um pequeno círculo como símbolo de ocupante de lugar. Os árabes aprenderam esse sistema no século IX e sua influência gradualmente se espalhou pela Europa nos dois ou três séculos seguintes. Os símbolos para cada dígito mudaram um pouco, mas os princípios permaneceram os mesmo (os árabes usaram o símbolo círculo para representar quantidade, sunya, tornou-se no árabe sifr, depois no latim zephirum (junto com a palavra ligeiramente latinizada cifra), e essas palavras, por sua vez, evoluíram para as palavras zero e cifra em português, Hoje em dia, o zero, usualmente como um círculo ou um oval, ainda indica que alguma potência de dez não está sendo usada.

No século IX d.C., os hindus tinham dado um salto conceitual que é um dos mais importantes eventos matemáticos de todos os tempos. Estavam começando a reconhecer o sunya (a ausência de quantidade) como uma quantidade de direito próprio. Tinham começado a trazer o zero como um número.

O matemático Mahāvīra (c.850) escreveu que um número multiplicado por zero resulta em zero, e que o zero subtraído de qualquer número não altera o número. Também afirmava que um número dividido por zero fica inalterado. Isso mostra que o conceito de operações inversas ainda não estava era dominado. Bhāskara (c.1100) afirmava que um número dividido por zero resulta uma quantidade infinita.

O mais importante destas ocorrências não é qual dos matemáticos da Índia teve as respostas certas quando calculando com o zero, mas o fato de eles colocarem tais questões em primeiro lugar. Para calcular com o zero é preciso primeiro reconhecê-lo como “alguma coisa”, uma abstração como qualquer outro número, ou seja, é preciso passar a contar uma cabra, ou duas vacas, ou três carneiros, ou pensar em 1,2,3 por eles mesmos, como coisas que podem ser manipuladas sem pensar me quais espécies de objetos estão sendo contados. Temos que pensar em 1,2,3,⋯ como ideias que existem, mesmo que não estejam contando nada. Então, e só então, faz sentido tratar o zero com um número. Os gregos antigos nunca deram esse passo extra em abstração matemática; isso estava fundamentalmente em oposição a sua ideia de que um número era uma propriedade quantitativa de coisas.

O reconhecimento pelos hindus do zero como um número foi uma chave para destrancar a porta da álgebra. O zero, como símbolo e conceito, encontrou seu caminho para o Ocidente, principalmente pelos escritos do estudioso árabe do século IX, Muhammad Ibn Al-Kowārizmī. Ele escreveu dois livros, um de aritmética e outro sobre resoluções de equações, que foram traduzidos para o latim no século XII e circularam pela Europa.

Para Al-Kowārizmī, o zero ainda não era pensado como um número, mas apenas um ocupante de lugar, descrevendo um sistema de numeração usando nove símbolos significando de 1 a 9. Em uma das traduções latinas, o papel do zero é descrito assim: 

Mas quando o dez foi posto no lugar de um, e foi feito na segunda posição, e sua forma era de um, eles precisavam de uma forma para o dez devido ao fato de que era semelhante ao um, podendo assim, saber por meio dela, saber que era dez. Assim, puseram um espaço em frente a ele e puseram um pequeno círculo como a letra o, para que dessa maneira eles pudessem saber que o lugar das unidades estava vazio e que nenhum número estava ali, exceto o pequeno círculo…

As traduções latinas frequentemente começavam com as palavras Dixit Algorizmi, significando “Al-Kowārizmī disse”. Muitos europeus aprenderam o sistema posicional decimal e o papel essencial do zero por meio dessas traduções. A popularidade desse livro como texto de aritmética gradualmente fez com que seu título fosse identificado com seus métodos, dando-nos a palavra “algoritmo”.

Conforme o novo sistema se difundia e as pessoas aprendiam a calcular com os novos números, tornou-se necessário explicar como somar e multiplicar quando um dos dígitos era zero. Isso ajudou a fazê-lo parecer mais semelhante a um número. No entanto, a ideia dos hindus de que se deveria tratar o zero como um número de direito próprio levou muito tempo para se estabelecer na Europa. Mesmo alguns dos matemáticos mais proeminentes dos séculos XVI e XVII não queriam aceitar o zero como raiz (solução) de equações.

Contudo, dois desses matemáticos usaram o zero de um modo que transformou a teoria das equações. No começo do século XVII, Thomas Harriot (1560–1621), que era também um geógrafo e o primeiro medidor de terras da colônia Virgínia, propôs uma técnica simples e poderosa para resolver equações algébricas: 

Passe todos os termos da equação para um lado do sinal de igualdade, de modo que a equação torne a forma:

[polinômio]=0

Esse procedimento, que Tobias Dantzig em seu livro Number: The Language of Science de 1967 chama de Princípio de Harriot, foi popularizado por Descartes em seu livro sobre geometria analítica e às vezes atribuído a ele. É uma parte tão comum da álgebra elementar hoje que o tomamos como certo, mas que realmente foi um passo revolucionário à frente de seu tempo.

Vejamos um exemplo: Para encontrar um número x para o qual x2+2=3x seja verdadeiro (uma raiz da equação), podemos reescrever como:

x2−3x+2=0

O lado esquerdo pode ser fatorado como (x–1)(x–2). Agora, para que o produto de dois números seja igual a zero, é preciso que ao menos um deles seja zero (esta é uma outra propriedade especial do zero que o torna único entre os números). Portanto, as raízes podem ser encontradas resolvendo-se em duas equações muito simples:

x−1=0                          (1)

e

x−2=0                         (2)

Isto é, as duas raízes da equação original são 1 e 2.

Este é um exemplo simples para ilustração, mas muito já era conhecido sobre fatoração de polinômios, mesmo na época de Harriot, de modo que esse princípio foi um grande avanço na teoria das equações.

Quando ligado com a geometria de coordenadas de Descartes, o princípio de Harriot se torna ainda mais poderoso. Usando a terminologia moderna, para resolver qualquer equação com uma variável numérica real x, podemos reescrevê-la como f(x)=0, onde f(x) é alguma função em x. Traçando o gráfico de f(x), as raízes (soluções) da equação original ocorrem quando esse gráfico cruza o eixo dos x. Assim, mesmo que a equação não possa ser resolvida exatamente, um bom gráfico fornecerá uma boa aproximação de suas soluções.

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Por volta do século XVIII, o status do zero tinha crescido de ocupante de lugar para ferramenta algébrica. Conforme os matemáticos do século XIX foram generalizando a estrutura dos sistemas numéricos para formar os anéis e os corpos da álgebra moderna o zero se tornou o protótipo de um elemento especial. O fato de que zero mais um número deixa aquele número inalterado, se tornou a propriedade que define o elemento “identidade da soma” de sistemas abstratos, em geral chamado simplesmente de zero do anel ou corpo; e o fato que um número vezes zero resulta em zero, é a força dominante do Princípio de Harriot, onde se o produto de números for zero, então um deles deve ser zero. Isso caracterizou um tipo particularmente importante de sistema chamado de domínio de integridade.

Autor: Kleber Kilhian

Fonte: O Baricentro da Mente

Referências

[1] A Matemática através dos Tempos – Willian P. Berlinghoff e Fernando Gouvês – Editora Blucher

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