O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo Final

Catedral de Chartres, na França: um guia para sua visita | Um ViajanteCatedral de Chartres (1145-1221)

6. Conclusão

A imagem do arquiteto mestre construtor que ficou na memória histórica foi aquela resultante da analogia entre sua figura e a do Criador, sempre apresentado numa posição superior e com um grande compasso nas mãos.

Esta iconografia, além de retratar uma condição realmente existente nos canteiros de obras, foi responsável pela visão do demiurgo que se colou à atividade profissional do arquiteto: o orientador dos trabalhos tanto na esfera mental (o projeto) como na esfera prática (o instrumento representando o fazer arquitetônico).

Os trabalhos no canteiro eram todos planejados em função da envergadura econômica do empreendimento, ficando assim descartada a ideia de um período histórico onde os arquitetos mestres construtores dirigiam suas obras sem projeto.

O projeto medieval era algo diferente de como hoje o entendemos: grelhas ou traçados reguladores forneciam a concepção geral do espaço a ser ocupado no solo. Estes traçados reguladores eram implantados com o auxílio de instrumentos e ferramentas: a groma para alinhamentos e ângulos retos, as cordas para materializá-los, as varas com as unidades adotadas e o chorobate para nivelar os platôs.

O lançamento e o dimensionamento das fundações tiveram excepcional melhora no século XIII, pela diminuição sensível do número de desmoronamentos. Como as fundações são diretas e necessitam de largas e profundas trincheiras para garantir sua resistência e estabilidade, não podemos admitir a possibilidade de um simples risco traçado sobre o solo, sem um plano prévio.

Por isso, às fases iniciais de marcação, seguem-se a colocação de piquetes. Com a abertura das trincheiras para as fundações, se recuperam os alinhamentos através de cordas esticadas entre os piquetes, que são as testemunhas do traçado regulador. Assim, se verifica a correta posição das fundações em relação às paredes ou aos elementos de sustentação.

O edifício gótico, por sua grande altura e pelo seu elemento constitutivo principal – a pedra – necessita de um prumo perfeito, para que a transmissão das cargas se dê sem excentricidades nos elementos estruturais, de modo a não provocar outros esforços que não a compressão. Isto garante a otimização da característica principal da pedra que é a sua resistência à compressão.

O arquiteto mestre construtor possuía um grande conjunto de detalhes construtivos – principalmente para os arcos ogivais – conforme demonstrado pelos cadernos de Villard de Honnecourt: os arcos eram de diferentes formas que ficavam catalogados em função do tabelamento do triângulo de referência que os gerava.

Com estes recursos, o arquiteto mestre construtor trabalhava o projeto do edifício, quase sempre através de um desenho no plano horizontal (o traçado regulador) e do desenho de elevações, onde demonstrava parte de suas escolhas e aprovava seu projeto junto ao Capítulo da Catedral.

O projeto medieval não tinha cortes. Os cortes atualmente têm uma característica de desenho definidor do projeto. Estes cortes, inexistentes no medievo, estavam embutidos nas relações conhecidas pelos arquitetos mestres construtores. As relações de escolha de proporções, razões incomensuráveis como Ad Quadratum (√2) e Ad Triangulum (√3), triângulos de referência e detalhes construtivos utilizados estão nas tradições do ofício que são dominadas pelos arquitetos mestres construtores.

A escolha dos parâmetros para a distribuição espacial do edifício no terreno é atribuição exclusiva do arquiteto mestre construtor, função direta de sua experiência na prática profissional. Estas escolhas e também o fabrico de instrumentos, como os esquadros de lados afunilados e de lado curvo, estão a comprovar a existência de planos prévios para as obras – o projeto.

Os registros gráficos, existem em número tão reduzido por duas razões.

Uma primeira refere-se à natureza dos suportes disponíveis à época, que eram muito frágeis e efêmeros. Suportes como os pergaminhos, além disso, custavam muito caro, tinham dimensões reduzidas, não se prestando para desenhos grandes. Superfícies em gesso ou argamassa de cal em pisos ou paredes desapareciam com o desenrolar da obra ou ficavam perdidos nas salas de riscos. O mesmo acontecia com desenhos feitos sobre pranchas de madeira.

Vários desenhos dos cadernos de Villard de Honnecourt apresentam-se superpostos ou comprimidos, no intuito de economizar espaço no pergaminho.

Muitas peças de pedra tinham seu desenho conformado em escala natural, diretamente sobre seu volume. Naturalmente o projeto da peça se perdia com sua execução.

Uma segunda razão era a inexistência do hábito de documentar, arquivar ou preservar os desenhos feitos para uma catedral, por exemplo. Sua utilidade cessava após o término das obras, ou seja, sua existência justificava-se pelo seu uso prático no canteiro, durante o tempo de execução. Os desenhos tinham apenas valor instrumental.

Por isso, a reutilização de suportes, como no caso dos pergaminhos, também contribuiu para o desaparecimento de muitos desenhos. Raspar e desenhar ou escrever novamente sobre o pergaminho e encapar livros eram práticas bastante comuns.

Suspeita-se que os Palimpsestos de Reims, da metade do século XIII, sejam de autoria de Hugues Libergier: são desenhos apagados e cortados em pedaços, formando as páginas de um livro.

A formação dos arquitetos mestres construtores assenta-se sobre a Geometria Prática – Geometria Fabrorum – que apesar de apresentar resoluções gráficas não totalmente corretas do ponto de vista matemático (Geometria Teórica), resolve satisfatoriamente os problemas arquitetônicos. O ofício desenvolveu especialmente este ramo da Geometria, para possibilitar o exercício profissional de seus praticantes.

A formação dos arquitetos mestres construtores era realmente voltada para o projeto, pois com o conhecimento das tabelas para arcos podiam escolher logo as abóbadas que deveriam sustentar as coberturas das naves e que melhor se adaptassem às suas escolhas projetuais: vãos, alturas, formas,etc…

Com o conhecimento do arsenal de procedimentos postos à sua disposição, o arquiteto mestre construtor concebia e dirigia a obra com este método de projeto, exatamente como registrou o grande arquiteto João Batista Vilanova Artigas: Que catedrais tendes na cabeça?.

FINIS

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo V (3ª parte)

Construcción catedral 07

5.3. Os instrumentos utilizados no canteiro: concepção e execução

No começo do século XII,a Sicília era o ponto de contato entre a nova erudição ocidental e o mundo grego. Era o ponto de união entre a cristandade e o Islã.

“O grande representante do interesse do ocidente pela literatura grega e árabe neste período é Adelard de Bath, que não só dá a conhecer Euclides aos ocidentais, mas também muitos elementos das ciências grega e árabe.” (BROOKE, op.cit.1972).

Ao contemplarmos diferentes naves de catedrais, podemos nos perguntar se as diferenças entre elas devem ser atribuídas à invenção e à fantasia ou a um procedimento racional do projeto arquitetônico medieval. Este problema desafia muitos estudiosos, mas podemos ficar com as conclusões do maior pesquisador do século XIX, Viollet-Le-Duc:

“Não é possível acreditar que as proporções na arquitetura são governadas pelo instinto. Existem regras absolutas e princípios geométricos…” (BECHMANN, op.cit.,1993).

Com as investigações do século XIX, acreditamos que o projeto medieval era centrado em conceitos geométricos: a arquitetura da Idade Média foi sustentada pela aplicação de preceitos geométricos para propósitos práticos. Kossmann, citado por Paul Frankl (op. cit.,1945) mostrou, por exemplo, que os Cistercienses usavam uma medida para suas plantas que eles chamavam de Grande Unidade (Grosse Einheit em alemão). Em alguns edifícios ela media sete pés de comprimento (aproximadamente 2,31 m) e em outros cinco pés (aproximadamente 1,65m). É importante frisar que neste cálculo para conversão de pés para metros, foi usada a dimensão moderna para o comprimento do pé, que é de 0,33 m. Durante a Idade Média, as unidades variavam de lugar para lugar.

A geometria é o centro do ofício do pedreiro. Todos os níveis de produção de um edifício de alvenaria com seus complicados e exatos trabalhos com as pedras demandam habilidades geométricas práticas dos envolvidos.

Desde a pedreira, conhecimentos geométricos num nível elementar eram necessários a fim de produzir o suprimento de pedras adequado e o trabalhador poder progredir em seu ofício, passando da pedreira para o assentamento de fiadas e daí para o talhe de pedras. Isto representava claramente não só um aumento da habilidade manual, mas também um maior aprofundamento no conhecimento da ciência da geometria.

Apesar dos trabalhos de alvenaria dependerem de conhecimentos geométricos, não há indícios de que o mestre construtor fosse interessado na ciência além dos problemas práticos de seu ofício. Assim, consideramos a hipótese de que ele servia-se de algum sistema para ajudá-lo no projeto do edifício.

Estes preceitos geométricos eram aplicados tanto na concepção quanto na execução da obra, com o auxílio de instrumentos que passaremos a relacionar e descrever sucintamente.

Da quantidade de instrumentos que a iconografia medieval nos legou, a maior parte refere-se à execução da obra, revelando-nos indiretamente a importância reservada ao fazer.

Os instrumentos de concepção mostrados na pedra tumular do mestre pedreiro Hugues Libergier (morto em 1263) – esquadro, virga, compasso – aparecem junto com uma maquete na caracterização da profissão do ilustre falecido.

Imagem relacionadaPedra Tumular do Mestre Pedreiro Hugues Libergier. Encontra-se hoje na catedral de Reims. Extraído de WU, Nancy. op. cit.,1999

Podemos notar que diferente da atual caracterização de um arquiteto (foto ao lado de desenhos), a representação medieval desprezava por completo os registros desenhados em qualquer tipo de suporte, privilegiando os instrumentos de concepção e o modelo do futuro edifício.

A escassez de testemunhos de “desenhos-desígnios” na edificação medieval, numa altura em que na sua maioria eram feitos em pergaminho, por si só um material muito mais resistente que o papel, indica o fato de o desenho arquitetônico não ter valor algum para além do instrumental. A não sobrevivência dos desenhos que deram origem aos edifícios quer dizer que estes, a existir, seriam sempre consumidos no próprio processo de construção (CÔRTE-REAL, op.cit.,2001).

O arquiteto gótico no estágio da concepção trabalha com a solução construtiva escolhida para a parte principal do edifício – geralmente a abóbada que era mais segura contra os temidos incêndios – e que comandará toda a distribuição do programa com as capelas laterais, os contrafortes e os arcobotantes.

Estes elementos, o arquiteto devia desenhar em elevação com os instrumentos disponíveis (BECHMANN, op.cit.,1993).

Alguns desenhos ainda existentes, comprovam a alta qualidade dos projetistas. Isto pode ser observado no famoso “Palimpsesto de Reims”, da metade do século XIII: estes desenhos, apagados e cortados em pedaços estão em forma de páginas de livro e podem ser de autoria do mestre Hugues Libergier.

Em relação aos desenhos é completamente certo que a confusão que permeia entre sua não existência e a execução das obras diretamente sobre o terreno, origina-se da utilização de instrumentos de grandes dimensões (como os compassos) para o desenho de épuras em escala natural (1:1) de componentes arquitetônicos sobre pisos ou paredes e ainda, como afirma Frankl (op.cit.,1945, p.57) do desenho direto de linhas sobre as superfícies de pedra, para obter o tamanho do próximo volume a ser cortado, como ficou claro nos desenhos dos pináculos de Roriczer. É de fato possível imaginar que o desaparecimento dos primeiros desenhos de construção ocorreu por terem sido desenhados desta maneira.

Os instrumentos

Um instrumento é o traço de união entre a experiência e a teoria, entre conhecimento puro e conhecimento aplicado (HALLEUX,2004).

O Compasso

A figura do compasso, sempre compareceu como indicador da atividade de executor. A Figura abaiixo mostra o “Grande Arquiteto do Universo” com um compasso de obra nas mãos, enfatizando o caráter de criador.

download (4)O Grande Arquiteto do Universo – Bíblia do século XIV. Extraído de GIMPEL, Jean. op.cit., 1973.

O compasso de braços articulados aparece com várias dimensões, com ou sem um setor curvo que podia ser graduado.

O arquiteto utiliza o compasso pequeno (figura 1) para desenhar no plano e um compasso bem maior (Figura 2), o qual reproduz sobre as pedras, em verdadeira grandeza, os traços do projeto (épuras).

download (5)Figura 1 – Compasso de setor do tipo utilizado por Villard de Honnecourt. As marcas sobre o setor curvo permitem obter relações ou ângulos. Extraído de BECHMANN, Roland. op.cit., 1993, p.58.

Os compassos eram manobrados por um só homem, portanto várias formas foram experimentadas para facilitar esse intento.

download (6)Figura 2 – Compasso de obra e esquadro de lados afunilados seguros pelo arquiteto. Ilustração do século XIII. Extraído de GIMPEL, Jean. op.cit., 1973, p. 105.

O compasso que aparece na pedra tumular do mestre pedreiro Hugues Libergier (Figura 3) é do tipo de redução: é aplicado sobre o plano do suporte e risca-se no arco formado por suas pernas – com ele é possível traçar-se vários arcos de mesmo raio.

download (7)Figura 3 – Este curioso compasso aparece na pedra tumular de Hugues Libergier. Destina-se provavelmente a traçar rapidamente no estágio de projeto, arcos de diferentes proporções, com o mesmo raio. Desenha-se riscando nas pernas do compasso. Extraído de BECHMANN, Roland. op.cit., 1993, p.60.

Para o traçado, utiliza-se uma ponta de metal ou tinta. A ponta de metal é uma das técnicas mais antigas; é precursora do desenho a lápis.

Consiste na utilização de estiletes com ponta de prata, ouro ou chumbo, que deixam um traço cinza ou dourado na superfície do suporte. A ponta de metal sulca a folha, não permitindo raspagem ou retoque. É um desenho muito delicado.

A Figura 4 mostra, segundo Mário Mendonça de Oliveira (op.cit.,2002,p.145) os trabalhos do arquiteto, pois a personagem da prancheta empunha um instrumento de escrita e uma régua; outro trabalha com um compasso que não era comumente usado pelos copistas e um terceiro parece recortar um gabarito. Trata-se do Mosteiro de S. Salvador de Tábara, mostrando uma cena de trabalho na sala de riscos ou na loggia.

download (8)Figura 4 – Instrumentos de desenho na sala de riscos da obra. 1- pontas de riscar 2- compasso 3- provável recorte de um gabarito. Extraído de GIMPEL, Jean. op.cit., 1973, p. 71.

Esta habilidade do traço perfeitamente controlado é admirada nos desenhos medievais. É importante perceber que na sala de riscos medieval, o desenho tinha outro objetivo, diverso do que viemos a conhecer com o Renascimento. O artista se orientava de forma decisiva pelas tradições e pelos modelos, ficando seu talento determinado pela sua facilidade em dominar o modelo ou fórmula (GOMBRICH,op.cit.,1990).

A Corda

Um outro instrumento de grande simplicidade, mas de imensa utilidade no canteiro é a corda. Em geral, os antigos agrimensores mediam distâncias usando uma corda ou vara de madeira, com unidades variando em cada localidade.

Ela permite o traçado de círculos de quaisquer dimensões. Villard de Honnecourt em seus cadernos indica seu uso para materializar direções, em particular de raios que convergem para um centro, sendo utilizada ainda para obter o centro de um arco, a partir de duas cordas (Proposição 1 de Euclides). O lançamento do ângulo reto era feito sobre cordas esticadas onde se aplicava a relação 3, 4, 5 (triângulo pitagórico ou egípcio).

O Nível

O nível e o fio de prumo referem-se ao estágio de implantação da obra e seus diversos elementos. O instrumento aqui utilizado apresenta-se sempre com um lado como se fosse uma régua e um fio de prumo que indicará o nível. O nível de água não aparece nos registros. O triângulo retângulo isósceles está sempre presente.

download (9)Figura 5 – Tipos de níveis medievais extraídos de miniaturas: a- arquipêndulo, instrumento que pode servir de nível e esquadro. Era utilizado para medir ou verificar os declives graças a marcas sobre a travessa. b- nível de chumbo, que permite com um fio mais longo, tomar ao mesmo tempo o nível e o prumo de um muro c- nível como aparece representado numa cadeira do coro da catedral de Poitiers. Extraído de BECHMANN, Roland. op.cit., 1993, p. 61.

O Fio de Prumo

O fio de prumo, comumente chamado de prumo, é um instrumento simples, praticamente igual ao usado nos dias de hoje. É composto de um fio que tem em sua extremidade um peso de chumbo e uma plaqueta quadrada de mesmo diâmetro que o peso. Esta plaqueta é furada no centro, de modo a permitir que o fio corra e assim mostre a mesma distância entre os dois pontos prumados. A Figura 6 mostra o aspecto deste instrumento.

download (10)Figura 6 – Pedra Tumular de um mestre pedreiro, onde estão representados seus instrumentos de trabalho. Notamos da esquerda para a direita, o fio de prumo, a virga,um martelo e uma colher. Extraído de BECHMANN, Roland. op.cit.,1993, p. 62.

Modelos e Gabaritos

Os modelos, padrões ou gabaritos abordam a questão da estereotomia, do corte de pedras, aplicando-se aos seus diferentes problemas. Os modelos são as representações das diferentes faces do que se deseja construir.

São executados em madeira ou metal, de tal modo que permitam ao talhador de pedras atingir a exatidão pretendida na reprodução.

Se o talhe é feito na pedreira ou no canteiro, melhor que as épuras é o envio aos trabalhadores dos gabaritos ou modelos dos elementos que se quer executar.

imagesFigura 7 – Gabaritos . Extraído de BECHMANN, Roland. op.cit.,1993, p. 97

Esquadros

Os esquadros foram para o trabalhador da época mais que qualquer coisa, um gabarito do ângulo reto. Aparecem na iconografia medieval três tipos de esquadros: o esquadro de braços paralelos, o esquadro de braços afunilados e o esquadro com um lado curvo. Os dois últimos tipos são sempre fabricados para cada obra específica, evidenciando o fator projeto.

download (11)Figura 8 – Desenho de uma rosácea de Chartres mostrando vários instrumentos, entre eles os esquadros. Extraído de BECHMANN, Roland. op.cit., 1993, p. 194.

O comprimento dos braços variava assim como os ângulos formados pelos braços afunilados. Os lados externos e internos dos braços formavam ângulo reto, porém não eram paralelos entre si, daí o afunilamento.

Enquanto é fácil imaginar o uso dos esquadros de braços paralelos para a conferência de ângulos, determinação de pequenas distâncias através do princípio de semelhança entre triângulos, a função(ões) dos esquadros de braços afunilados é muito mais incerta e objeto de intenso debate.

Os esquadros afunilados ou curvos eram fabricados para uso no canteiro, após a escolha do esquema de proporções da obra, que dependiam da referência dimensional – dada pela virga – do Arquiteto Mestre Construtor.

download (12)Figura 9 – Modos para fabricar os esquadros afunilados e curvos. Extraído de BECHMANN, Roland. op. cit.,1993, p.194.

A letra b da Figura 9 mostra o esquadro de lados afunilados na hipótese de Marie-Thérèse Sarrade (WU, Nancy, op.cit., 1999) usado para traçar um retângulo de razão 1: √2 a partir do retângulo de proporções 2:3 . Na letra d, temos o talhe de uma pedra de arco por escala: sobre a pedra modelo, talha-se a curva do arco onde se traçam duas escalas paralelas. O esquadro é fabricado com a convergência dada pelas duas escalas ligadas duas a duas: servirá para traçar todas as outras pedras. Letra e: demonstração da utilização do esquadro curvo no traçado de pedras de arcos. Letra f : utilização do mesmo esquadro curvo para o traçado do arranque de um arco (extraído de BECHMANN, Roland. op.cit., 1993, p. 194).

A Virga

É um instrumento referencial: é uma régua que constitui o padrão de medidas do canteiro. A denominação latina era virga geometralis.

É representada em algumas miniaturas entre as mãos do arquiteto como uma batuta do maestro da orquestra. O padrão de medidas possibilitava composições baseadas nos números incomensuráveis √2 – ad quadratum – diagonal do quadrado e √3 – ad triangulum – altura do triangulo equilátero, muito utilizadas nos desenhos de elevações.

download (13)Figura 10 – A virga nas mãos do arquiteto, que servia como medida de referência e símbolo de sua função de dirigente do canteiro. Desenho de Pierre du Colombier sobre a Pedra Tumular de Hugues Libergier. Extraído de BECHMANN, Roland op.cit., 1993,p.28.

Um exame nos diferentes instrumentos utilizados pelos mestres construtores do século XIII, mostra-nos que alguns são polivalentes, isto é, fazem as vezes de instrumento, gabarito ou ábaco.

Assim, um arquipêndulo podia servir de esquadro ou de nível; uma régua-nível podia ser utilizada como mira; uma corda podia servir como fio de prumo, etc.

O reduzido número de instrumentos utilizados não significa apenas uma economia de material – o metal é muito caro – mas também a uma comodidade de manuseio e a um menor congestionamento da sala de riscos e do próprio canteiro.

A Groma

De origem entre os egípcios e gregos, a groma era usada pelos agrimensores romanos. Servia para fazer alinhamentos e marcar ângulos retos a partir de um ponto inicial que fornece o prumo, devendo ter sido muito útil no agenciamento das obras no local de construção. Foi um instrumento que preenchia – dentro de suas limitações – as funções do teodolito na locação das obras.

download (14)Figura 11 – Agrimensores romanos em seu trabalho com as gromas. Extraído de MACAULAY, David. op. cit., 1989, p. 17.

Em algumas pedras tumulares de agrimensores romanos, encontra-se a palavra mensor, sempre acompanhada de uma representação da groma. O termo mensor não era muito comum, sendo mais usados os termos agrimensor ou gromaticus (aquele que usa a groma). Entre os agrimensores da época era comum a groma ser chamada pela palavra machina que designava o instrumento composto de duas partes: a groma ou stella e a ferramentum (a haste de ferro).

O Chorobate

O chorobate é outro instrumento medieval utilizado principalmente nas funções de nivelamento. É o único que utiliza água como um dos componentes para sua utilização. Na Figura 12 podemos verificar seus componentes, que são quatro fios de prumo colocados nos pés de uma espécie de mesa que possui uma concavidade em seu tampo, onde se reserva a água. Com a água em repouso, os quatro fios de prumo deverão estar alinhados com os pés do chorobate, garantindo assim a verticalidade da peça arquitetônica.

download (15)Figura 12 – O Chorobate. Extraído de MACAULAY, David. op. cit.,1989, p.28.

Interessante notarmos que o chorobate foi descrito por Vitruvius em seu Livro VIII (RUA, op.cit., 1998). Este fato denota que realmente a obra de Vitruvius foi conhecida durante toda a Idade Média, contrariando alguns autores que relatam sua redescoberta na Europa somente em 1415, no século XV. Em abordagem sobre a obra de Vitruvius, feita no Capítulo 2, tratamos da extensão do conhecimento dos medievais sobre seu trabalho.

Podemos então sustentar que o desenvolvimento da arquitetura gótica foi permitido pelo planejamento geométrico, que através de ferramentas e instrumentos do canteiro aprimorou os esquemas desenhados em plantas e elevações, possibilitou a modulação de elementos para adaptarem-se a formas variadas e garantir a economia das obras e ainda a sua perfeita implantação no solo. As obras medievais eram muito organizadas e hierarquizadas, tendo como condutor principal o arquiteto mestre construtor, servido pelos demais mestres das Corporações de Ofício que tomavam parte na empreitada.

Esta condução fica evidenciada quando três instrumentos importantes no processo de concepção, a virga, o esquadro de lados afunilados e o esquadro com um lado curvo, revelam-se escolhas absolutamente particulares do arquiteto mestre construtor. A arquitetura é mais do que nunca cosa mentale, ou seja, está na cabeça do mestre que não se preocupa em lançá-la imediatamente em forma de desenhos.

A Geometria que controla as dimensões, embora sendo dominada apenas praticamente, revelou-se suficiente para permitir com estes instrumentos, o avanço das técnicas que levariam a arquitetura gótica ao seu máximo esplendor e desenvolvimento no século XIII.

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo V (2ª parte)

Saint Barbara (van Eyck) - Alchetron, the free social encyclopedia“Santa Bárbara” de Van Eyck. Ao pé do edifício, uma loggia de talhadores de pedra. 

5.2. As ferramentas utilizadas nos trabalhos em pedra: pedreira e canteiro

Através da sequência dos trabalhos em pedra, da extração da pedreira até o posicionamento de componentes e esculturas na obra, examinaremos as variadas ferramentas utilizadas e os resultados produzidos sobre o material.

Trataremos assim, de ferramentas que eram utilizadas para determinadas tarefas na pedreira e outras cuja utilização já se dava no canteiro, aos pés da obra. Percebemos que o tipo de ferramental vai mudando conforme as tarefas crescem em precisão.

São com as cenas dos canteiros, mostradas na iconografia desenhada, pintada ou esculpida entre os séculos XI e XIV, é que se torna possível reconstituir as sucessivas etapas do trabalho em pedra e reconhecer as principais ferramentas utilizadas.

Entretanto, importantes lacunas subsistem nos estágios de extração e retirada da rocha, esquadrejamento de pedras duras, acabamentos dos paramentos e relevos e esboço das esculturas (BESSAC, op.cit.,2001).

Os enganos iconográficos são numerosos, sendo suas principais causas as obras de imaginação (ou memória), as cenas alegóricas e as artimanhas destinadas a proteger segredos profissionais.

A despeito dessas numerosas dificuldades, é possível propor um esquema geral das diferentes operações do talhe da pedra e da escultura medieval.

A sequência dos trabalhos em pedra pode ser então exprimida em treze itens, dos quais os itens de 1 a 4 deveriam ocorrer na própria pedreira, de 5 a 10 com os componentes no canteiro e os restantes – 11 a 13 – referindo-se à arte escultórica em pedra.

Trabalhos em pedra

Na pedreira (itens de 1 a 4 )

1 – Exploração da rocha na pedreira:

  • picareta de extração
  • pinça de extração

2 – O corte da pedra:

  • serra

3 – Esquadrejamento de pedras duras:

  • picareta
  • picareta de talhe

4 – Esquadrejamento, esboço e talhe de pedras macias:

  • polka
  • polka denteada

No canteiro (itens de 5 a 10)

5 – Esquadrejamento e talhe:

  • martelo de talhe
  • martelo denteado

6 – Desbastes:

  • punção

7 – Traçado dos perfis e relevos:

  • gabaritos

8 – Talhes diversos e relevos:

  • cinzel metálico para pedras duras
  • cinzel com cabo de madeira para pedras macias
  • cinzel denteado (gradine)
  • martelo cilíndrico curvo
  • macete de extremidades alargadas

9 – Talhe de pedras com furadeiras:

  • furadeira de arco
  • furadeira de enrolar

10 – Acabamentos de superfícies, paramentos e relevos:

  • ripe

Esculturas (itens 11 a 13)

11 – Modelagem inicial (esboço) de esculturas:

  • picareta de talhe
  • punção

12 – Relevo e talhe de esculturas:

  • cinzel
  • gradine
  • macete curvo

13 – Acabamento das esculturas:

  • ripe

A complexidade das tarefas do operário das pedreiras resume-se perfeitamente na descoberta, retirada e tratamento das pedras. A exploração era feita a céu aberto, revelando o aspecto original das rochas graníticas que se apresentam em maciços isolados ou encaixadas em leitos de rios. O trabalho dos operários é então cortar os blocos em terra firme ou preparar ensecadeiras para drenar o maciço rochoso.

A exploração da rocha em pedreira parece antes de tudo realizar-se com a ajuda de instrumentos correntes de terrapleno.

A retirada de mármores, por exemplo, é efetuada com a serra, porém com um modelo sem dentes, contrário à figuração conhecida. Nenhuma representação descreve esta operação para outras categorias de pedras.

Assim, a descoberta das pedras enfrenta toda sorte de obstáculos, desde a fragilidade de ferramentas e utensílios, aos problemas de desvio das águas, da remoção da lâmina do terreno, às ameaças de desabamento e outros perigosos acidentes.

Os bancos de pedra revelam-se aos trabalhadores com seus meios rudimentares, somente após esforços consideráveis. Uma vez o banco de pedra colocado a nu, é preciso destacar cada bloco da ganga e desbastar ou arrancar com outros instrumentos.

Falamos do martelo de cabo longo e grande cabeça, pesando de 4,50 Kg a 5,50 Kg, das picaretas de ponta cortante “para romper as grandes pedras” com 4,50 Kg a 9 Kg de metal, das cunhas às vezes com 9 Kg ou 11 Kg para alargar as fissuras, dos pés de cabras, de barras, de serras para extrair o calcário, etc…

Dispunha-se ainda de uma forja com um ferreiro em jornada contínua para reformar, reforçar com lâminas de metal e afiar as ferramentas estragadas. Um jovem servidor fazia a ligação entre a pedreira e a forja.

O trabalhador realiza um trabalho penoso, com ferramentas fracas e às vezes inadequadas, o que levava inevitavelmente ao comprometimento da rapidez da execução.

O uso de guindastes ou “engenhos” – aparelhos elevadores constituídos de pranchões de madeira, rodas, cordas e um sistema de travamento – é bastante raro nas pedreiras.

Muitas vezes, os trabalhadores mais competentes da pedreira esboçavam as formas e volumes, dando o aspecto quase definitivo para colunas, ogivas, arcos e pináculos que seriam enviados ao canteiro.

Esta preparação – a operação de esquadrejamento das pedras duras com picaretas era sempre realizado na pedreira – atestada pelos cálculos de custos, mostra a grande vantagem de limitar o peso dos materiais, facilitando seu transporte e evitando o atravancamento do canteiro.

A palavra francesa que designa este trabalho de preparação é chapage. As pedras talhadas e as peças de escultura são marcadas com signos que permitem identificá-la, pagar o trabalhador responsável (tarefeiro) ou para indicar o posicionamento do elemento na obra monumental (signo de posição).

– Signos dos tarefeiros – “assinaturas” em pedra. Extraído de HARVEY, John. op.cit.,1971.

Com a chegada do material da pedreira ao canteiro, os trabalhos de lavra da pedra continuam. As pedras macias são geralmente esquadrejadas e paramentadas com a ajuda da lâmina vertical da polka e mais frequentemente com o martelo de talhe. Nos mesmos tipos de trabalho, o martelo denteado é pouco representado, principalmente após o século XIII; em compensação a polka denteada é vista correntemente após o século XV.

201 5.2. As ferramentas utilizadas nos trabalhos em pedra ...Desenho de um vitral com os construtores de Chartres e seus instrumentos de trabalho em pedra. 1- polka denteada 2- martelo cilíndrico curvo 3- picareta de talhe 4- esquadros de lados paralelos 5- gabaritos 6- compasso 7- nível 8- fio de prumo 9- planta. Extraído de BECHMANN, Roland. op.cit.1993,,p.63.

Para escavar e moldar os relevos na pedra macia, os entalhadores de pedra utilizavam a polka do lado em que sua lâmina é disposta perpendicularmente ao cabo. Quando tinham de produzir elementos de relevo em série, os traçados são lançados nas pedras esquadrejadas por meio dos gabaritos em madeira ou mais comumente em metal.

downloadTrabalhadores utilizando a ripe (esquerda) e o cinzel (direita). Extraído de BECHMANN, Roland. op.cit., 1993,p. 63

O entalhador de pedra trabalha os relevos com o cinzel e a partir do século XIV com o cinzel denteado (gradine). Estas ferramentas são empregadas para realizar entalhes e paramentar os blocos para assentamento.

A ripe é utilizada para regularizar as faces da pedra e dar acabamentos em qualquer superfície.

Um processo análogo parece reger a confecção da escultura em pedra. O equipamento vai sendo utilizado conforme o desenvolver da obra: picareta leve, punção, o cinzel ou gradine, a ripe e provavelmente em certos casos a furadeira.

Porém, a maior parte das ferramentas que intervém nas etapas preliminares do trabalho de escultura, não são jamais mostradas nas imagens que chegaram até nossos dias.

Notamos ainda que, paralelamente às condições técnicas, a iconografia medieval dos canteiros traz-nos também informações sobre as condições de trabalho dos talhadores de pedras. Estas parecem melhorar bastante por volta do século XV, nesta época que transparecem perfeitamente os cuidados com a proteção dos segredos profissionais, enfatizados no encontro de Ratisbonne em 1459.

Enquanto o uso dos guindastes nas pedreiras era bastante raro, nos canteiros eles aparecem mais amiúde, principalmente em razão da altura das paredes projetadas pela arquitetura gótica.

201 5.2. As ferramentas utilizadas nos trabalhos em pedra ...Trabalhadores medievais no seu trabalho. Aparece o fio de prumo, martelos cilíndricos curvos e um guindaste (corda e roldanas).Extraído de GIMPEL, Jean. op.cit.,1973,p.59.

Os talhadores de pedra tinham um lugar para abrigo ao pé da obra (a loggia), onde guardavam as ferramentas, recebiam as orientações do Mestre e riscavam as pedras com os gabaritos.

Os painéis ou gabaritos constituem um poderoso auxiliar no corte de pedras. A imagem do uso dos gabaritos mostrada a seguir é bastante clara.

201 5.2. As ferramentas utilizadas nos trabalhos em pedra ...Pormenor de gravura de trabalhadores no canteiro – 1-Instrumento de percussão provavelmente uma “polka”) 2- gabaritos em uso. Extraído de HARVEY, John. op.cit.,1971.

O trabalhador frequentemente reproduz numerosos exemplares idênticos de pedras com relevo (bases, capitéis, elementos de cornija, de janelas e de rosáceas) utilizando-se de um gabarito dos recortes frontais e da modenatura.

Finalmente, a iconografia medieval levantada sobre as principais ferramentas mostra-nos um instrumento que é “polivalente” ou seja, é utilizado tanto na pedreira quanto no canteiro: o esquadro de lados paralelos, que auxilia o uso das ferramentas de esquadrejamento de pedras.

201 5.2. As ferramentas utilizadas nos trabalhos em pedra ... Gravura de “O romance da Rosa” – séc. XIV. 1- picaretas de talhe 2- esquadro de lados paralelos 3- colher. Extraído de GIMPEL, Jean. op.cit.,1973, p.75.

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo V (1ª parte)

Clase Arq.GóTica By Mao

5. Ferramentas e instrumentos nos séculos XII e XIII

A partir da segunda metade do século XII, produz-se uma mudança muito significativa no aspecto das construções. Esta mudança responde a modificações de conceitos religiosos e litúrgicos, refletindo-se em nova definição dos espaços internos das igrejas.

Este novo estilo aparece e desenvolve-se com a melhoria das condições materiais nas cidades. Enquanto o estilo românico tinha um caráter rural, aparecendo sempre em igrejas próximas aos monastérios, o gótico é, desde sua origem, um fenômeno urbano que surge pela vontade de comunidades mais complexas e desenvolvidas.

A catedral gótica, máxima expressão da construção da época, é uma necessidade não só religiosa, como social – ponto de reuniões e demonstração de pujança econômica e espiritual da comunidade.

Construir é, então, o principal e quase único trabalho coletivo da época. A única “ferramenta técnica” é uma geometria muito simples e é com ela que procuram resolver os problemas que aparecem com o aumento da altura das naves e da complexidade das coberturas.

O talhe das pedras tem grande precisão, embora sua forma não seja uniforme em virtude da necessidade de se economizar e racionalizar o seu uso. Apenas no Renascimento é que as pedras dos arcos terão tamanhos iguais: no período medieval o uso pelo gótico de arcos ogivais de mesmo raio e diferentes alturas, permitirá a economia e a agilização da produção das peças. Os sistemas de medidas não são comuns às várias cidades e “loggias” das obras, não há papel e as ferramentas são caras e de baixa qualidade.

Apesar disso, recebiam no canteiro todas as milhares de peças, para as quais criou-se um sistema de marcação, transporte, armazenagem e colocação, sem que fossem possíveis muito retoques ou erros em virtude da natureza do material que era a pedra.

Isto remete-nos à suposição de um alto grau de profissionalismo entre os participantes do processo, o que na verdade era conseguido com longos períodos de aprendizado com os mestres de ofício.

A construção das catedrais era mencionada com vários detalhes em muitas crônicas, como a do monge Gervase, sobre a reconstrução da catedral de Canterbury, após o incêndio de 1174. (COWAN,op.cit.,1977).

Poucas contém desenhos sobre a obtenção e beneficiamento de materiais ou seu assentamento. Nenhuma, porém, dá qualquer indicação sobre o método de projeto que era objeto do “segredo” dos mestres pedreiros. Nós sabemos menos sobre os projetos das catedrais medievais do que sobre a arquitetura romana ou renascentista.

Algumas razões para este fato podem ser o baixo nível de alfabetização que, no século XII, ficava restrita aos religiosos e a transmissão oral dos conhecimentos profissionais.

Mesmo os manuscritos mais recentes (século XV) dos mestres pedreiros – caderno de desenhos anônimo encontrado na Biblioteca Nacional de Viena em 1450; geometria de Heutsch escrita provavelmente em 1472; geometria de Schmuttermeyer escrita provavelmente em 1486; o livro sobre a Verticalidade dos Pináculos de Roriczer de 1486 – explicam somente procedimentos de montagem (como tirar a elevação do plano), mas não de projeto, que ficava restrito aos “traçados reguladores” ou a escolha da “Grande Unidade” pelo arquiteto, conforme as pesquisas de Kossman (FRANKL,op.cit.,1945).

Outra provável razão para a ausência de registros sobre o projeto pode ser que após as opções do arquiteto, as principais orientações seguiam um conjunto de parâmetros definidos “a priori” pelo mestre, que às vezes socorria-se de um modelo, maquete ou desenho de épura em v.g. (verdadeira grandeza).

Os desenhos não são objeto de preocupação quanto à conservação: são destruídos ou seu suporte (raro ou caro) reutilizado. Apesar disto, alguns textos mostram a importância do desenho e aspectos de sua utilização, garantindo a propriedade ao seu autor. Um exemplo é o trecho de contrato entre o rei da Inglaterra no final do século XIV e dois mestres pedreiros:

“(…) de acordo com o sentido do projeto e dos gabaritos feitos sob recomendação do mestre Henry Yevely e entregue para os ditos pedreiros por Watkins Walton seu encarregado.”

O importante era o fazer dirigido por quem tinha o encargo de conceber ou a um sucessor a quem fosse permitido conhecer o projeto original (naturalmente, através de desenhos).

Através do estudo dos conjuntos de instrumentos e ferramentas poderemos conhecer um pouco mais sobre os procedimentos do trabalho – geometria do projeto e do canteiro – no Renascimento Medieval, que é como ficaram conhecidos os séculos XII e XIII.

Estes conhecimentos geométricos eram utilizados nas diversas instâncias – pelo uso de instrumentos e ferramentas – no projeto ou na obra, no beneficiamento do material (pedra), em sua extração e colocação no canteiro e até o seu posicionamento na edificação.

5.1. O Renascimento Medieval: a construção e o conhecimento

A civilização na chamada Baixa Idade Média (ou Idade Média Central – VINCENT,op.cit.,1995), começa a apresentar grandes diferenças do período anterior (Alta Idade Média), notadamente nos âmbitos religioso e intelectual.

Os sentimentos mudam para um crescente interesse pelas coisas terrenas em contraposição ao pessimismo com o destino e a vida do homem nos séculos anteriores. Algumas causas apontadas para estas mudanças devem-se a progressos na educação monástica e disseminação de escolas episcopais, a um governo mais estável e a uma economia mais sólida em função da retomada do comércio nas rotas terrestres e marítimas (Mediterrâneo,Mar do Norte,Mancha e Báltico).

A influência das civilizações islâmica (presente na Península Ibérica até 1492 – século XV) e bizantina (herdeiros do Império Romano que desapareceram apenas em 1453 -século XV – com a tomada de Constantinopla pelos turcos) e ainda o renascimento, fundação e prosperidade de vilas e cidades, levam a realizações materiais e intelectuais nos séculos XII e XIII, que justificam a denominação de “Renascimento Medieval”.

Apresentamos a seguir, de maneira resumida, as principais realizações destes dois séculos. Importante ressaltar-se ainda que todas as Cruzadas, da Segunda (1147-1149) até a Oitava (1270 – morte de São Luiz em Tunis) ocorreram dentro do período em questão.

Século XII
1109 – Abadia de Cluny;
1120 – Tradução de “Os Elementos” de Euclides do árabe para o latim por Adelard de Bath;
1126 – Escola de Tradutores de Toledo;
1132 – Abadia de Vézelay (Borgonha);
1141 – Tradução do Corão para o latim por Pierre, o Venerável, Abade de Cluny;
1144 – Reconstrução da Abadia de Saint-Denis pelo Abade Suger – nascimento do gótico;
1160 – Catedral de Laon[1];
1163 – Catedral de Notre Dame de Paris;
1175 – Catedral de Canterbury;
1194 – Catedral de Chartres[1].
Século XIII
1211 – Catedral de Reims[1];
1214 – Privilégios à Universidade de Oxford;
1215 – Fundação oficial da Universidade de Paris;
1220 – Catedral de Amiens;
1226 – Santa Inquisição;
1245 – Abadia de Westminster;
1248 – Catedral de Cologne;
1250 – Catedral de Strasbourg;
1265 – Summa Teológica de São Tomás de Aquino.

De quais materiais, utensílios, instrumentos e organização dispunham os construtores para possibilitar nos séculos XII e XIII o desenvolvimento de um novo estilo arquitetônico como o gótico? É necessário imaginar os conhecimentos teóricos e práticos ao alcance do criador – que aqui chamamos de “Arquiteto” – e de seu auxiliar, o “parlier”

Este é quem transmite as tarefas do projeto aos executantes, verifica a conformidade dos detalhes previstos, dá indicações aos talhadores de pedra e carpinteiros, explica os traçados ou os reproduz em escala, conforme os desenhos do arquiteto.

Na sala de traços, recobrindo o chão de gesso ou nas argamassas das paredes, o arquiteto desenha suas épuras em verdadeira grandeza (tamanho natural) com seus equipamentos.

Os executantes são geralmente capazes e zelosos, porém iletrados.

Contrariamente à ideia romântica de que todo o povo participava, a construção das catedrais era feita por profissionais pouco numerosos. Algumas dezenas de permanentes e até algumas centenas em período de pico. O máximo número de trabalhadores conhecidos é de 700 trabalhadores na Abadia de Westminster, por desejo do rei.

O arquiteto precisa se preocupar com os materiais colocados no obra, sua origem, seu custo e demais características técnicas: isso vai refletir a organização e os equipamentos existentes no canteiro.

É preciso sempre evocar as condições técnicas em que aqueles construtores se encontravam: as novas possibilidades que surgiram, mas também as dificuldades e obstáculos que enfrentavam em todos os níveis, desde o aprovisionamento e transporte, nos diferentes estágios da concepção, lançamento do projeto, execução e comunicações das disposições prévias.

A este propósito, o trabalho do arquiteto orientava-se para simplificar (selecionar poucos padrões) e facilitar a comunicação do projetado aos executantes sempre que isso fosse possível (BECHMANN,op.cit.,1993).

Após a escolha dos padrões, o carpinteiro fabrica os gabaritos para serem entregues ao mestre talhador que os utiliza em função dos blocos de pedra retirados da pedreira.

Assim, notamos um aparente conflito com um parágrafo de Walter Gropius:

“…cada artesão, participante da obra, podia não apenas executar, mas também projetar a parte que lhe cabia, desde que se subordinasse à clave de proporções geométricas de seu mestre: esta servia às guildas de construção – tal como a clave musical serve ao compositor – com recursos geométricos. Quase nunca existiam projetos no papel; o grupo de trabalho vivia junto, discutia a tarefa comum e transpunha as idéias diretamente para o material.”( Walter Gropius. Bauhaus: Nova Arquitetura. São Paulo: Perspectiva, 1972, p. 25 – citado por BICCA,1984).

As noções da inteira liberdade do trabalhador medieval quanto ao exercício de seu ofício não parecem ser muito verdadeiras, uma vez que a organização econômica do canteiro impunha medidas de padronização e repetição de tarefas.

Além dos problemas internos à organização das obras, é preciso considerar também quais as condições gerais em que se achavam os construtores da época: o contexto ecológico (pedreiras e florestas/pedras e madeira) e sócio-econômico que atuava sobre eles sujeitava e condicionava não somente seu modo de vida, mas também suas escolhas técnicas.

A superexploração das florestas, que era uma consequência não somente dos grandes desmatamentos produzidos pela expansão demográfica, mas também pelo manejo tradicional da época (matéria para combustível (lenha e carvão) e madeira para utilização em obras), levou o nordeste da França, berço da arquitetura gótica a uma grande escassez de madeira com secções adequadas para construção.

Esta dificuldade provocou uma necessária evolução técnica, que a hagiografia, as crônicas e os Cadernos de Villard de Honnecourt nos informam.

Os custos dos transportes, sobretudo por via terrestre, incidem decisivamente sobre as técnicas empregadas e refletem-se notadamente no talhe das pedras em uma “estandartização” ou modulação na pedreira.

O emprego das janelas e arcos ogivais, que podem ser construídos com diversas curvas de mesmo raio, porém com alturas diferentes, utiliza-se de peças de mesmo perfil e curvatura, prestando-se assim aos propósitos de usar um pequeno repertório formal para compor arcos de várias inclinações.

Além das novas possibilidades trazidas pelo emprego das janelas e arcos ogivais e dos arcobotantes, desenvolve-se também, por exigências das mudanças litúrgicas, a arte dos vitrais, que permite trazer a luz para dentro das naves, proteger contra a chuva e o frio e aliviar as fachadas pelo emprego de menor volume de pedras.

O Abade Suger em Saint-Denis, berço do gótico, queria uma igreja na qual a luz brilhasse e a escuridão fosse dali varrida. Afirmava que a alma é fortemente arrastada para Deus ao contemplar o brilho cintilante da luz refletida em pedras preciosas (BROOKE,op.cit.,1972).

A ciência da construção, inteiramente empírica, apoiando-se nas experiências mais arrojadas, progredia rapidamente e os construtores do país que desenvolveram a nova arquitetura, adquiriram uma competência que os fizeram requisitados por toda a Europa, como mestres de obras ou arquitetos.

Foi provavelmente por um desses títulos que Villard de Honnecourt foi levado a viajar ao exterior e assim sair de sua terra natal, a Picardia, para visitar a Île-de France, a Champagne, a Suíça e a Hungria.

Os conhecimentos extremamente rudimentares em matéria de Geometria foram evidenciados pela correspondência de 1025 (século XI) entre os escolásticos Radolf de Liège e Ragimbold de Cologne sobre suas pesquisas e pelos esforços de outros escolásticos com Francon, Wazron, Razegan e Adelman que se esforçavam para demonstrar corretamente o Teorema dos ângulos internos de um triângulo. Mesmo através dos desenhos de Roriczer em 1486 (século XV) no “Livro da Construção Exata dos Pináculos”, percebemos a limitação dos conhecimentos em Geometria.

O conhecimento teórico e matemático da Geometria era pequeno por parte dos mestres construtores e havia uma imensa dificuldade no diálogo com os sábios e intelectuais pelas barreiras entre o latim culto e o latim vulgar.

Esta afirmação sobre os limitados conhecimentos dos mestres construtores era provavelmente exata para os teóricos, mas não parecia ser verdadeira no mundo do trabalho.

Ao domínio da demonstração como entendemos hoje – aquelas que interessam aos matemáticos, teóricos, filósofos ou sábios e que demonstrariam a plena compreensão da obra de Euclides – contrapõe-se a prática do “traço”, o plano de traçados reguladores com sua geometria prática.

É admirável que se possa imaginar como, deste modo, as catedrais góticas puderam ser erguidas sem maiores conhecimentos dos domínios da Geometria.

Restam os traços ou riscos como é mais comum entre nós e os modelos e maquetes. O risco em escala natural era importante etapa na passagem do plano para a forma esculpida ao longo de toda a história da construção erudita (TOLEDO,op.cit.,1978).

Lúcio Costa explica o significado da palavra risco na Arquitetura:

“Da mesma forma que e expressão inglesa design, a palavra risco, na sua acepção antiga, está sempre associada à idéia de concepção ou feitio de alguma coisa e como tal não significa apenas o desenho, drawing, senão desenho visando a feitura de um determinado objeto ou a execução de uma determinada obra, ou seja, precisamente o respectivo projeto.”

A função do risco em escala natural – aqui como desenho aberto na argamassa de uma parede ou em camada de gesso no piso – seria servir de guia para marcar a pedra segundo a projeção da peça num plano (vertical ou horizontal) e orientar seu corte (TOLEDO,op.cit.,1978). Restam exemplos ainda nas Catedrais de Wells e York, ambas na Inglaterra.

Os modelos – que aparecem muito na iconografia medieval – prefiguram os resultados finais da edificação, servindo também para ser mostrado ao Capítulo da futura catedral para conhecimento e aprovação do projeto.

Se os métodos utilizados não são auxiliados por desenhos na época, é notável que os traçados estão destinados a servir por um curto período de tempo e que são feitos geralmente sobre suportes efêmeros ou reutilizáveis. São desenhados sobre pergaminhos (suporte bastante caro e de dimensões reduzidas), placas de madeira, superfícies de gesso, argamassas de cal e muito raramente sobre placas de pedra.

Em razão da necessidade já referida de aprovação do projeto perante o Capítulo e o próprio Bispo, os Arquitetos eram levados a desenhar grandes fachadas, caprichosamente preenchidas com cor.

Mas, os métodos são guardados em segredo, apenas acessíveis para aqueles que possuíam os conhecimentos do ofício dos construtores, os quais eram transmitidos de forma oral e através de esquemas desenhados e identificados por textos quase “criptográficos”.

A experiência é baseada em métodos estabelecidos empiricamente, transmitidos de geração em geração e que são enriquecidos pelo acréscimo de conhecimentos obtidos nas “loggias” das novas obras.

Entre o mundo dos práticos e aquele dos sábios e intelectuais existiam barreiras que não permitiam que o saber fosse compartilhado.

Os arquitetos mestres construtores, iniciados na prática geométrica da construção, guardavam ciosamente seus segredos corporativos, enquanto que os “teóricos” desprezavam a utilização prática dos conhecimentos geométricos.

Além disso, as barreiras entre as línguas culta e vulgar e as dificuldades dos arquitetos mestres construtores com a matemática, complicavam ainda mais uma possível cooperação com os teóricos.

Mesmo assim, como a Geometria sempre foi considerada uma Arte Liberal e de alguma forma ela era utilizada pelos arquitetos, seu ofício era altamente considerado, embora implicasse em um trabalho manual.

Por isso, é provável que apesar do livro Os Elementos de Euclides ter sido vertido para o latim logo nas primeiras décadas do século XII, ele pouco deve ter acrescido de imediato ao trabalho prático dos mestres construtores (PADOVAN,op.cit.,1999).

Podemos então perguntar: qual geometria auxiliava os construtores?

Geometria, sem dúvida, com fonte na Geometria de Euclides ou em tratados como o de Vitruvius, cujas cópias, hoje sabemos, existiram sempre pela Europa?

É particularmente difícil penetrar nos métodos de certas técnicas, pois a discrição no seu detalhamento é rigorosamente observada pelos pedreiros e arquitetos.

Esses “segredos de ofício” aparecem ratificados num famoso documento resultante de um encontro de talhadores de pedras em Ratisbonne (1459 – século XV) que rezava que

“nenhum trabalhador, mestre, parlier ou jornaleiro, ensinará a quem não for de nosso ofício e nem tenha jamais exercido o ofício de pedreiro, como tirar a elevação do plano.”

Se a discrição ou segredo dos métodos é respeitável e justificável por várias razões, ela constituiu-se num freio à cooperação de todos os que poderiam, com conhecimentos complementares, fazer avançar as técnicas antigas que constituíam o patrimônio comum.

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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Nota

[1] – Registradas nos Cadernos de Villard de Honnecourt

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O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo IV

Retificação: os construtores das catedrais da França | Caetano de ...

4. O conhecimento geométrico : desenho para o projeto e o canteiro

A geometria prática conhecida e utilizada pelos mestres construtores – a Geometria Fabrorum – era composta de partes da geometria teórica, trabalhada com o auxílio de instrumentos e ferramentas, porém sem a utilização de cálculos matemáticos.

Embora a educação formal durante a Idade Média não tenha servido diretamente aos mestres construtores, ela foi importante para manter determinados estratos sociais em contacto com textos de geômetras da Antiguidade.

As primeiras experiências no sentido de reorganizar o ensino formal, destruído pelas invasões bárbaras da Alta Idade Média, foram iniciativas da Igreja, por razões de sua própria organização. Os reflexos destes conhecimentos culminarão nas Corporações de Ofício.

4.1 – A geometria nas Escolas

Durante o período de refluxo da vida urbana na Idade Média em razão das invasões bárbaras, o ensino dito formal permaneceu recluso nas chamadas Escolas Monásticas, dentro dos Mosteiros e Abadias, que sempre tinham sua localização no mundo rural, distante de qualquer contato com aglomerações humanas.

As escolas leigas haviam desaparecido, tornando as Escolas Monásticas uma novidade e não uma continuidade de herança da Antiguidade.

Um exemplo maiúsculo foi Vivarium, famoso mosteiro fundado por Cassiodoro em 555 (século VI), com o propósito de preservar as tradições culturais latinas então em franca extinção. O latim sofria com as invasões bárbaras; a fusão com inúmeras línguas e dialetos trazidos pelos invasores, transformou-o de uma língua de todo o ocidente europeu em uma língua regionalizada ou na pior hipótese, morta.

Este fato acarretará dificuldades na compreensão de textos da Antiguidade, principalmente romana, pela incapacidade crescente de entendimento do latim clássico que era até então a língua do estudo e da transmissão do saber.

Ainda no século VI, S. Bento de Núrcia, no Mosteiro de Monte Cassino, na Itália, estabelece a regula (regras) para seu mosteiro e que será seguida por todos os demais.

Ela determinava que o monge permanecesse no mesmo lugar, trabalhando manualmente para garantir sua subsistência e mais importante de tudo, que se dedicasse ao estudo e ao ensino. Com isso, os mosteiros beneditinos tornaram-se os primeiros centros de cultura importantes para a civilização ocidental.

Os monges fechados no scriptorium, uma espécie de oficina de escrita e iluminuras e na biblioteca copiavam obras da Antiguidade, multiplicando os exemplares e tornando-os mais acessíveis.

Em recente artigo, o paleobiólogo Cisne (op.cit.,2005,p.1305) destaca a importância do scriptorium através de uma analogia entre as obras aí produzidas e os fósseis. Assim como os trilobitas (parentes de quatrocentos milhões de anos de insetos e crustáceos) que ele costuma estudar, os manuscritos só se multiplicam se copiados individualmente, mas quanto mais deles existir, mais eles se multiplicam, simplesmente porque há mais indivíduos capazes de se reproduzir e ser copiados.

É aí, longe das cidades que surgiram as Escolas Monásticas, a princípio apenas para a formação de futuros monges. Mais tarde, estas escolas abrem-se para o público externo, com o propósito de formar leigos cultos (filhos da nobreza e de seus servidores).

O programa de ensino, de início era bastante elementar: aprender a ler, escrever, conhecer a Bíblia, canto e aritmética. O canto (música) e a aritmética são componentes do Quadrivium (música, aritmética, geometria e astronomia), herança da influência da Antiguidade sobre a Idade Média.

Com o tempo, o programa vai se enriquecendo, incluindo o estudo do latim e do Trivium (gramática, retórica e dialética). O sistema educacional baseado no Trivium e no Quadrivium havia sido estabelecido desde a Antiguidade,apoiado sobre as Sete Artes Liberais: Gramática, Retórica e Dialética compunham o Trivium, destinado à uma educação mais refinada (para treinar a mente) e Música, Aritmética, Geometria e Astronomia que compunham o Quadrivium, destinava-se a uma educação mais informativa, voltada para algum tipo de aplicação prática ou profissional.

Embora a Geometria figurasse no Quadrivium, seu estudo era teórico e calcado sobre os textos existentes (principalmente de Boécio), não tendo absolutamente nada, por exemplo, com a geometria registrada por Villard de Honnecourt em seus cadernos.

Os arquitetos mestres construtores gozavam um especial prestígio e consideração da sociedade, pois apesar de seu trabalho resultar em intervenções manuais, o ato de conceber ou projetar, denotava seu domínio sobre a Geometria (uma Arte Liberal), que o
distinguia dos operadores manuais.

Leonardo da Vinci diria mais tarde que o projeto é cosa mentale, corroborando o sentimento coletivo.

No século XII, Hugh de St. Victor nomeia as Sete Artes Mecânicas, nas quais percebemos que o trabalho manual e o esforço físico são denominadores comuns a todas elas. São elas: Lanificium (vestuário), Armatura (arte militar e arquitetura), Navigatio (navegação), Agricultura, Venatio (caça e pesca), Medicina e Theatrica (teatro). As Artes Liberais sempre foram consideradas superiores às Mecânicas e esta condição foi também justificada pela filosofia escolástica de Tomás de Aquino que ensinava que a alma (mente) era livre e o corpo sua prisão.

A posição da Geometria dentre as Artes Liberais explica-se pelo seu caráter teórico-mental, que necessita de instrumentos apenas quando se faz necessário materializar os conceitos de ponto, linha, etc…

O mesmo Hugh de St. Victor em seu livro Praticae Geometriae, divide a Geometria em dois campos: a Geometria Teórica e a Geometria Prática. A Geometria Teórica investiga espaços e distâncias por razões especulativas enquanto que a Geometria Prática investiga os mesmos espaços e distâncias, mas por meio de certos instrumentos que permitem decisões sobre as proporções ao juntar uma coisa à outra.

Sua Geometria Prática tratava ainda de três campos específicos: Altimetria, Planimetria e Cosmimetria (futura Estereotomia).

A Geometria Prática, também conhecida como geometria do artesão, infelizmente foi excluída do Praticae Geometriae, originalmente de Hugh de St. Victor, quando foi completada por Leonardo de Pisa em 1220. Esta exclusão provavelmente deveu-se ao fato de que o trabalho final de Leonardo de Pisa resultou num tratado matemático avançado, em que ele se sentiu desobrigado de iniciar com a habitual distinção entre Geometria Teórica e Prática.

Seu trabalho foi muito pouco lido ou utilizado, não somente em razão da sofisticação matemática, mas também pelo latim clássico em que foi escrito. Mais uma vez fica ressaltado o fato de que se a unidade proporcionada pela língua latina favoreceu o intercâmbio de conhecimento entre os pensadores e intelectuais, dificultou ou tornou-o inacessível aos mestres construtores.

A existência das Escolas Monásticas e as obras civis nos mosteiros, sem dúvida aproximaram leigos construtores de alguns monges também construtores. Esta união de dois grupos aparentemente tão distintos quanto ao acesso a fontes de conhecimentos da Antiguidade, pode ter resultado nas primeiras experiências de transmissão de algumas técnicas ou recursos geométricos dos monges para os trabalhadores contatados.

Gimpel (op.cit.,1973) dedica todo um capítulo aos monges construtores, indicando uma grande habilidade a ser considerada. Os mosteiros contratavam também muitos artistas e artesãos para a produção de objetos encomendados às suas oficinas pelas igrejas e cortes. Há registros que a Abadia de St. Gall contratava muito destes operários ambulantes. Era um pequeno mercado de trabalho.

Era prática geral empregar mestres construtores, da mesma maneira que canteiros, carpinteiros e ferreiros para a construção das igrejas. As oficinas monásticas ocupavam-se também, além da produção de artefatos, com a investigação técnica (Hauser,p.89).

No final do século XI, o monge beneditino Teófilo descreve na sua Schedula Diversarum Artium, uma série de invenções dos mosteiros: produção de vidro, uso do fogo na execução de vitrais, tintas, etc…

Operários e artistas ambulantes adquiriam prática nas oficinas monásticas em contato com monges letrados e com acesso à biblioteca. A preparação de jovens artistas era uma preocupação e a educação uma obrigação de toda ordem religiosa. Em muitos mosteiros essas oficinas de trabalhos manuais preparavam artistas para as catedrais e casas senhoriais, num esforço à parte da Escola Monástica.

A partir do século XI, quando as atividades humanas retornam ao ambiente urbano, ocorrem mudanças de forte repercussão no campo da disseminação do conhecimento. Essas mudanças vão desde o aparecimento das sucessoras das Escolas Monásticas, as Escolas Episcopais, de um novo grupo social que é a burguesia urbana, das Universidades e finalmente das Corporações de Ofícios.

Como resultado da revolução agrícola a partir do ano 1000, produziu-se excedentes, o que estimulou o comércio e as finanças (uso da moeda ao invés da troca de mercadorias). A mudança da matriz energética foi decisiva para a revolução agrícola. Aprimorou-se a força motriz do cavalo com novos arreios que permitiram o uso de arados profundos que revolviam melhor o terreno e introduziu-se o sistema de rodízio de campos de cultivo, o que aumentou consideravelmente a produção. O homem ficou assim liberado do uso da força motriz humana.

As Escolas Episcopais começam a funcionar em dependências da catedral ou da casa do bispo. Surgem pela necessidade de uma melhor formação de quadros para o clero, para a burocracia da Igreja e para o enfrentamento de ameaças heréticas.

A retórica, a argumentação e o conhecimento deveriam se contrapor às heresias e defender a doutrina da Igreja na vida civil. São recrutados eruditos e intelectuais para ministrarem aulas. Todos são chamados de clérigos, mesmo os alunos que não se destinam ao sacerdócio.

Existe agora na cidade, ao lado da sociedade feudal rural, um novo grupo social que é a burguesia urbana, dedicada às atividades mercantis, manufatureiras e financeiras. Seu poder, riqueza e importância cultural vão crescendo rapidamente.

Esta ânsia em ocupar novos lugares na sociedade faz com que se inicie uma renovação das ideias de escola, que aparecerá justamente nas Escolas Episcopais das Catedrais. Estas escolas, que foram instituídas no século XI pelo Concílio de Roma de 1079, passam a partir do século XII, com o Concílio de Latrão de 1179, a ser mantidas através de benefícios para a remuneração dos mestres, garantindo-lhe assim um vigoroso impulso neste século.

A novidade é que a atividade intelectual abre-se para o exterior, absorvendo elementos das culturas judaica e árabe e redescobrindo os autores clássicos como Aristóteles e Platão. Em 1126, a Escola de Tradutores de Toledo na Espanha está em plena atividade, traduzindo obras da Antiguidade do árabe para o latim. É desta época a tradução de Adelard de Bath da obra Os Elementos de Euclides.

No século XII, Thierry de Chartres fez uma compilação dos textos e autores utilizados como base para as aulas das Sete Artes Liberais (Trivium e Quadrivium ) na Escola da Catedral de Chartres.

No Trivium , a Gramática era ensinada com textos de Donato e Prisciano; a Retórica, com textos de Cícero, Severiano e Martianus Capella e a Dialética com textos de Porfírio, Aristóteles e Boécio.

No Quadrivium, a Música era ensinada com textos de Boécio; a Aritmética, com textos de Boécio, Martianus Capella; a Geometria, com textos de Abelardo, Isidoro de Sevilha, Frontino, Columelle, Gerberto, Gerland e Boécio e a Astronomia com textos de Hygino e Ptolomeu.

O método utilizado é principalmente o comentário sobre o texto lido, estabelecendo-se as famosas Questiones Disputate entre os candidatos, à frente do Mestre e dos demais alunos (Pernoud,op.cit.,2004,p.6).

Os textos de Boécio utilizados no ensino da Geometria eram conhecidos como a Geometria de Boécio, embora fossem compilações parciais de Os Elementos de Euclides.

Shelby (op.cit.,1972) assegura que, embora o conhecimento dos mestres construtores pudesse teoricamente ser obtido na educação formal, não era isso que acontecia. Ler e escrever eram privilégios do clero, mas há evidências de um aumento nas taxas de alfabetização na Baixa Idade Média. Com isso, provavelmente, mais mestres construtores
aprenderam a ler e escrever, embora o fizessem em linguagem vernacular e não em latim, pois isto exigia a frequência desde cedo a cursos da educação formal, muitas vezes inacessível a este grupo.

Mesmo assim, a alfabetização traria benefícios pois, segundo Gimpel (op.cit.,1972), nas Escolas Episcopais de Chartres e Paris havia manuscritos em latim e também na língua da Picardia. Chama a atenção, nos séculos XII e XIII, que o monopólio da Igreja na organização escolar não é contestado pelo poder secular.

O século XIII é o século da Igreja triunfante e de poder incontrastável com a construção de inúmeras catedrais; da consolidação da universidade (1200 – Universidade de Paris), talvez a maior contribuição medieval à civilização ocidental e ainda é o século das Corporações de Ofícios.

Estamos também sob a égide da filosofia escolástica com sua organização, divulgação da filosofia de Aristóteles e do intelecto de Tomás de Aquino (1226 – 1274) em justificar a fé com a razão.

As universidades que se consolidarão neste século, eram originariamente chamadas de Studium Generale, agregando mestres e alunos dedicados a algum ramo do saber (Medicina, Direito ou Teologia). Com a efervescência da Baixa Idade Média, logo passou a
referir-se ao estudo universal do saber, sendo seu nome substituído por Universitas Magistrorum et Studiorum.

A universidade de mestres e alunos forma uma sociedade autônoma que tem seus membros retirados da jurisdição civil, isto é, dos tribunais reais. Eles ficam submetidos a tribunais eclesiásticos, o que é considerado como privilégio e consagra a autonomia desta corporação de elite (Pernoud,op.cit.,2004,p.3).

Mesmo nas universidades, diferente modalidade de educação formal, não encontramos o conhecimento dos mestres construtores.

Este conhecimento não seria encontrado num ambiente de estudos teóricos, porque a percepção da geometria pelo artesão é clara: é a geometria que manipula os materiais com instrumentos e de acordo com as regras de seu ofício. É conhecida como a Geometria Fabrorum, ou seja a geometria que fabrica um determinado artefato.

As cidades, agora com população fixa e com grande atividade comercial, tornam-se centros de atração pelas oportunidades que passam a oferecer. A atividade da construção, com os grandes canteiros de obras das catedrais é a maior força de atração.

Assim como a universidade logo constituiu uma corporação de mestres professores e alunos, os diferentes artífices que intervêm na obra arquitetônica, até por força do pensamento escolástico em dividir, classificar e organizar, isolam-se também em entidades civis chamadas Corporações de Ofícios, com o claro intuito de proteger os interesses dos praticantes daquele ofício.

As cidades estavam atraindo, com suas atividades de construção, muitos estrangeiros e moradores das vizinhanças, o que muitas vezes deixava seus próprios habitantes sem trabalho. Desta época vêm a denominação pedreiro livre (free mason), indicando aquele que não tinha vínculo com nenhuma Corporação.

O surgimento destes múltiplos ofícios rompeu com a ordem social que retratava o sistema feudal. As novas atividades urbanas, comerciais e artesanais em sua diversidade, propiciaram uma liberdade pessoal para os homens, até então inexistente na relação servo-senhor. Eram agora pessoas desligadas da terra e que sobreviviam na cidade com seu trabalho que já não era ligado à produção de alimentos.

Os trabalhos de projeto e construção corriam até então sob a organização das loggias, que ficavam localizadas dentro do próprio canteiro de obras. As loggias, que se diferenciariam das futuras Corporações de Ofícios, eram associações de trabalhadores autônomos organizados.

A loggia dos pedreiros dos séculos XII e XIII era uma organização cooperativa de artistas e artesãos contratados para a construção de uma grande obra – igreja ou catedral – sob a direção e administração de pessoas indicadas pela entidade que tinha encomendado o edifício. Fica clara a relação de dependência a um plano concebido antes da execução, portanto um projeto. Um projeto medieval.

Hughes Libergier é um exemplo destes diretores e administradores das obras ou seu arquiteto mestre construtor. Ele era o responsável pelo plano artístico (projeto), distribuição de tarefas e coordenação dos trabalhos individuais.

Nas loggias, o arquiteto mestre construtor trabalha quase sempre com as mesmas equipes. Alguns trabalhadores continuam com o mestre mesmo após o término de suas tarefas.

Por ser um grupo autônomo, tinha grande mobilidade e caso o trabalho terminasse ou se interrompesse, mudava sob a chefia de seu arquiteto mestre construtor e tomava novas tarefas. O que acontecia muitas vezes era a loggia ficar no mesmo local por gerações, em virtude da duração do tempo de obra.

Se a mobilidade não era tão importante para a loggia como grupo, era fundamental para a produção artística da época, cujo artista levava uma vida errante, trabalhando individualmente em vários grupos, como era a tradição dos operários contratados nas antigas oficinas monásticas.

Com a entrada da moeda em circulação, o trabalho livre e de fora da localidade passa a ser mais empregado pelos mestres. O mercado de trabalho se fortalece e agora a velocidade das obras depende dos recursos em dinheiro da entidade promotora.

A construção da catedral gótica era um processo muito mais longo e complicado que a construção da igreja românica. Requeria maior variedade de operários e mais tempo para a execução.

Estes inúmeros profissionais tinham seu trabalho organizado pelas regras da loggia: o tipo de empreitada, pagamento e treino de operários, hierarquia entre arquiteto, mestres especializados e operários, restrições à propriedade intelectual do trabalho e subordinação incondicional às necessidades da tarefa comum.

O objetivo era uma divisão e integração do trabalho produtivo sem atritos, com a maior especialização possível e a mais completa harmonia entre os diferentes indivíduos. Procura-se constituir uma união de espírito do grupo com uma subordinação voluntária à direção do arquiteto e um contato estreito deste com cada componente, para tornar possível a unidade artística da obra.

Esta organização do trabalho nas loggias era a mais apropriada à uma época em que a Igreja e algumas entidades da cidade eram as únicas compradoras das obras de arte por elas produzidas.

Quando o poder de compra da burguesia mercantil urbana alcançou um nível suficiente, esta passou a constituir-se num novo mercado para as obras de arte, permitindo que os artistas e artesãos abandonassem a loggia e se instalassem na cidade como mestres independentes.

É um momento único e sem retorno na relação projeto e obra: as diversas categorias intervenientes na obra agora podem trabalhar fora dela. É o afastamento do arquiteto da obra, pela separação entre o local de trabalho do artista e o local da edificação.

A concentração de artistas e artesãos nas cidades e a competição naturalmente criada, levaram a uma organização econômica coletiva, que resultou nas Corporações de Ofícios.

As Corporações de Ofícios na Idade Média surgiam sempre que um grupo profissional sentia-se ameaçado economicamente por competidores vindos de fora. Era uma organização própria de cada cidade.

O objetivo da Corporação era excluir ou ao menos restringir a competição: desde o início caracterizou-se por um protecionismo intolerante contra os que não fossem seus membros. Os regulamentos visavam somente à proteção do produtor dos artefatos. Mesmo a prescrição de qualidades mínimas ao produto procurava garantir mercados aos produtores.

Apesar de tudo, se comparados os regulamentos da loggia com os das Corporações, estes deram um passo à frente no tocante à liberdade do artista. Nas oficinas individuais que compunham a Corporação, os mestres de Ofício eram livres na utilização de seu tempo e na escolha dos meios artísticos. A Corporação apenas mantinha os mestres dentro de limites aceitos pela tradição profissional.

Agora, as diferenças do trabalho em relação aos séculos XI e XII já são bastante grandes. No século XI, em pleno período românico, todo o trabalho do artista era feito no próprio local da edificação, em sua posição final: a decoração de paredes pelo pintor era feita exclusivamente através de murais e o escultor trabalhava sobre andaimes, cinzelando a pedra após o pedreiro tê-la assentado.

A loggia do século XII, oferecia ao escultor um local de trabalho mais conveniente e melhor equipado que o andaime: uma oficina ao pé da igreja ou catedral, onde as esculturas eram esculpidas, marcadas e depois colocadas em sua posição definitiva no edifício.

Esta evolução, que culmina na Idade Média com a organização das Corporações de Ofícios, levou à independência do trabalho do escultor e a crescente separação entre arquitetura e escultura. Os painéis pintados também seguem a mesma tendência.

A transmissão dos conhecimentos do ofício era predominantemente oral, sendo feita pelo mestre a seus aprendizes.

Neste trabalho, os mestres não empregavam livros didáticos no sentido escolástico e nem formas literárias definidas. Os aprendizes faziam uma espécie de estágio por longos anos e mudavam de categoria ao comprovar competência em um trabalho completo, apresentado aos mestres da Corporação.

As Corporações tornaram-se também um círculo fechado de parentesco, onde a tradição em exercer determinado ofício ficava por muitas gerações com a mesma família, resguardando o imenso prestígio social que o arquiteto mestre construtor carregava.

Esta posição de quem dirigia e supervisionava pessoalmente as obras, pode ser avaliada pela lápide do mestre Hughes Libergier. Após sua morte em 1263, este arquiteto mestre construtor da igreja de Saint-Nicaise em Reims foi retratado em sua lápide como uma espécie de homem de letras, com o modelo de sua igreja, a virga e outros instrumentos de trabalho (N.B.: esquadro e compasso). A posse da virga, bastão que indicava o comando era também um padrão de unidade escolhido para a obra.

Hugo Libergier – Wikipedia

Apesar da Escolástica ter monopolizado a formação intelectual e ter cunhado o que se chamou de hábito mental que atingia os arquitetos com esta formação, não é possível afirmar-se que estes mestres arquitetos eram escolásticos. Shelby (op.cit.,1972) demonstra que os procedimentos utilizados na Geometria Prática pelos arquitetos eram independentes e distintos do pensamento matemático da tradição erudita e depois escolástica.

4.2 – A geometria no ofício

Uma fonte muito importante de informações sobre a tradição dos arquitetos mestres construtores surgiu de um autor anônimo – provavelmente um clérigo – por volta de 1400. Era o Artigos e Pontos de Alvenaria que afirmava o papel essencial da geometria no ofício dos pedreiros. Apresenta costumes e regulamentos referentes ao trabalho dos pedreiros da Inglaterra de então.

O autor estabelece a conexão entre geometria e trabalho com ferramentas e prossegue registrando que

“entre todos os ofícios do mundo, o ofício dos pedreiros era o mais notável e mais participante da ciência da geometria.”

O texto apresenta ainda uma versão das mais interessantes sobre as origens da Geometria e a história de Euclides. De acordo com o autor, Euclides teria sido empregado de Abraão durante sua estada no Egito. Assim, teria sido Abraão que ensinara a ciência da Geometria a Euclides, que por sua vez ensinou-a aos egípcios.

Esta visão ressalta a relevância do significado da Geometria para o autor e os pedreiros da época, principalmente pela tentativa de ligá-la a um personagem bíblico.

Para os pedreiros medievais, Euclides era o herói do ofício e a palavra Geometria tornara-se sinônimo de seu ofício.

Apesar da firme convicção de que a Geometria era a base do ofício, vimos anteriormente que não era através dos meios educacionais formais existentes à época que este contato se dava. A educação e formação dos pedreiros se davam no corpo da tradição de seu ofício, por meio do qual os conhecimentos técnicos necessários ao projeto e execução eram transmitidos de mestre para aprendiz,de pai para filho, do parlier ou jornaleiro para os menos experientes no trabalho.

Os arquitetos mestres construtores também adquiriam conhecimentos e habilidades em construção pelo estudo e profundo conhecimento das tradições do ofício. A capacitação no ler e escrever tornou possível o contato com textos antigos escritos sobre o ofício e traduzidos em língua vernácula.

Estas tradições, guardiãs de grande volume de conhecimento técnico e que eram transmitidas oralmente de uma geração à outra, desapareceram quando a tradição oral extinguiu-se ao final do período gótico.

As condições para resgatar os conhecimentos dos arquitetos mestres construtores foram dadas pelos escritos de alguns mestres alemães do final do século XV, portanto ao final do período histórico convencionado como Idade Média, porém já nos ares do Renascimento.

Sobre as traduções de Os Elementos de Euclides e sua disseminação pela Europa medieval, sabemos que no início da Idade Média houve a circulação de traduções em latim (Boécio) de partes da obra destinada a estudantes, com algumas Definições, Postulados, Axiomas e Proposições, porém sem as provas matemáticas.

Somente no século XII todo o conteúdo de Os Elementos foi traduzido de versões árabes para o latim por Adelard de Bath, mas permaneceu também na esfera dos estudos formais.

As tradições do ofício ligam-se ao artífice da prática, àqueles que usam a Geometria no trabalho. O pedreiro trabalhando com argila ou pedra, produz linhas, superfícies, quadrados e círculos em corpos sólidos da melhor maneira para sua tarefa e com suas próprias ferramentas: espátula, martelo, cinzel, corda, fio de prumo, etc…

Os documentos medievais referentes à Geometria (Folhas dos cadernos de Villard de Honnecourt, por exemplo) informam-nos que os problemas de estereotomia eram resolvidos pelos pedreiros medievais por meio apenas das ferramentas e instrumentos por eles conhecidos: eram procedimentos aproximados, seguidos passo a passo, que não envolviam cálculos matemáticos e eram eminentemente práticos.

Este proceder é realçado no livreto do mestre alemão Matthias Roriczer, intitulado Geometria Deutsch, publicado em 1488 e provavelmente inspirado no tratado De Inquisicione Capacitatis Figurarum de meados do século XV. Trata especificamente da Geometria conhecida pelo mestre pedreiro.

São doze páginas que contém figuras com letras e explicações sobre como resolver nove problemas: construir um ângulo reto, um pentágono, um heptágono, um octógono, como encontrar o comprimento da circunferência do círculo, como encontrar o centro de uma circunferência com apenas uma parte conhecida, como construir um quadrado e um triângulo que tenham a mesma área, como modelar e arrematar um frontão e como levantar um frontão da planta.

É um registro claro da Geometria Prática – a Geometria Fabrorum – pois ressalta sua independência da Geometria Teórica, uma vez que em nenhum caso as construções mostram-se matematicamente corretas.

Este tratado intitulado De Mensura Circuli, foi traduzido da árabe para o latim no século XII por Gerard de Cremona. Como retificar a circunferência do círculo, segundo a versão de Roriczer para o teorema de Arquimedes:

“faça três círculos um perto do outro e divida o diâmetro do primeiro círculo em sete partes iguais, como mostram as letras h,a,b,c,d,e,f,g. Coloque antes de a uma parte, obtendo i : ik é o comprimento retificado da circunferência do círculo.”

Este traçado era um recurso construtivo importante, pois apenas munido de régua e compasso, o pedreiro poderia obter a circunferência do círculo (colunas, torres circulares, etc…) “construindo” a solução do problema sem conhecer o teorema de Arquimedes ou suas provas matemáticas. Geometria Deutsch revela que o pedreiro medieval enfrentava problemas geométricos que poderiam requerer algum cálculo matemático através de métodos passo a passo que utilizavam seus instrumentos de trabalho e evitavam qualquer espécie de cálculo.

Um exemplo comprobatório disso é a comparação entre a solução de Roriczer com a dada pelo De Inquisicione Capacitatis Figurarum para o mesmo problema do comprimento da circunferência do círculo:

“dado o diâmetro, encontrar a circunferência do círculo. Vamos supor que o círculo dado tem diâmetro ab e ab=14. O triplo do diâmetro é 42. Se adicionarmos ao produto 1/7 do diâmetro ab, isto significa 2. O número resultante é 44, que é o comprimento da circunferência do círculo.”

O autor do De Inquisicione desenvolve o teorema de Arquimedes em forma de cálculo matemático, enquanto Roriczer apresenta sua construção geométrica, perfeitamente acessível aos pedreiros.

A diferença fundamental entre Geometria Deutsch e o De Inquisicione é que Roriczer retirou do tratado apenas formas que poderiam ser expressas em termos geométricos, evitando todas as que pudessem requerer conhecimentos matemáticos.

Estas diferenças contrastam a geometria dos arquitetos mestres construtores e a geometria clássica desenvolvida por Arquimedes. Ambas pressupõem que toda construção geométrica seja possível de ser obtida com poucas ferramentas ou instrumentos.

Euclides aceitou esta pressuposição como uma restrição teórica no sentido de desenvolver seus argumentos enquanto que os pedreiros medievais a tomavam por uma prática absolutamente necessária em virtude de a eles faltar a habilidade do raciocínio matemático. A manipulação do mundo de Euclides torna-se possível através de suas ferramentas e instrumentos.

Para Euclides, a construção de uma figura geométrica com régua e compasso era uma parte, não absolutamente necessária do exercício matemático: Geometria – arte liberal – uso da mente. Sua preocupação era maior quanto à correção matemática da tarefa do que à sua construção.

Para Roriczer e os arquitetos mestres construtores, como a construção era geométrica, ou matematicamente falando, o final do exercício, a principal tarefa não era provar sua correção matemática, mas transformar a construção geométrica em forma arquitetônica em pedra: Geometria Prática – Arquitetura – Arte Mecânica – uso das mãos (Shelby,1972,p.416).

A mais famosa sequência de transformação de figuras geométricas em formas arquitetônicas é ilustrada por Roriczer no seu outro livreto sobre o projeto de pináculos: Booklet on the correct design of pinnacles.

Este livreto é dedicado ao bispo Wilheim von Reichenau com quem Roriczer trabalhou e que teria possibilitado seu acesso ao De Inquisicione. Além disso, o bispo era reconhecido como entusiasta e patrocinador da “arte livre da Geometria”. Este contato pode indicar e comprovar a absorção de conhecimento teórico pela aproximação com clérigos que tinham acesso a bibliotecas e textos mais antigos e da cultura clássica.

Esta interação, patrão eclesiástico e seu arquiteto mestre construtor, deve ter sido responsável por grande parte da cultura clerical nas tradições do ofício dos pedreiros na Baixa Idade Média.

O que Roriczer fez em seu livreto, foi descrever numa exposição detalhada, um problema de projeto e sua solução geométrica, afastando de vez a ideia de uma Idade Média que trabalhava sem plano ou projeto.

A forma do texto sugere o registro de um tipo de ensinamento oral que era tradicional no ofício, talvez a mesma explanação que o mestre fazia a seus aprendizes sobre os desenhos de Villard de Honnecourt.

Como não existia régua graduada com um padrão unitário universal e as unidades de mediadas eram regionais, havia duas possibilidades para transportar o desenho do projeto para a escala natural.

O arquiteto mestre construtor escolhia dimensões para os elementos arquitetônicos, que o pedreiro deveria executar sem uma régua graduada. Sem régua graduada e como a noção de escala embute conhecimentos matemáticos, este recurso estava fora do alcance do pedreiro.

Assim, métodos tinham de ser desenvolvidos para habilitar o pedreiro a transportar o desenho do arquiteto para o tamanho natural, num procedimento passo a passo.

No método de Roriczer, o pedreiro ao finalizar o pedestal do pináculo, poderia saber quanto o corpo principal estaria recuado em relação à face, diretamente na face superior deste pedestal. Ele não precisava estar preocupado com o tamanho especial do pináculo, porque a escala de todo o pináculo mudava proporcionalmente com a dimensão básica dada. Era o segredo dos pedreiros: como tirar a elevação da planta.

Ele não precisava de pergaminho ou prancha de madeira: usava a própria verdadeira grandeza do objeto em execução para obter as demais dimensões. O pedreiro tinha de conhecer a figura chave que o arquiteto havia escolhido e suas prescrições de uso. Às vezes, as razões de proporção eram incomensuráveis (irracionais) como era o caso da figura com quadrados de Roriczer.

Kossmann apontou uma segunda opção ao descobrir que entre os Cistercienses havia uma medida para planos de trabalho que era chamada de Grande Unidade (Grosse Einheit).

O tamanho variável desta unidade (de cinco a sete pés) era função do comprimento do pé utilizado na região em que o trabalho era executado.

O uso desta Grande Unidade presta-se também aos traçados reguladores, uma espécie de grade de eixos para posicionar paredes ou elementos de sustentação. A groma servia perfeitamente para este trabalho de lançamento do traçado regulador sobre o solo.

Esta hipótese difere do método das figuras chaves, pois aqui as proporções são entre números racionais. As unidades são materializadas através de ripas de madeira e marcadas tantas vezes quanto o esquema planejado determinar. (Frankl,op.cit.,1945,p.48).

A Geometria Fabrorum tinha assim as condições fundamentais para sua existência: trabalho com ferramentas e instrumentos e ausência de cálculos para estabelecer as proporções.

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo III

The Portfolio of Villard de Honnecourt « Facsimile edition

3. Villard de Honnecourt : os Cadernos da Geometria Prática

Da Antiguidade, na bacia do Mediterrâneo e na Idade Média no Ocidente europeu, herdamos dois monumentais trabalhos de caráter enciclopédico onde se uniam os conhecimentos da construção de estruturas, de máquinas e da natureza: o tratado de Vitrúvio (escrito aproximadamente em 27 AC) e o manuscrito de Villard de Honnecourt da Picardia (região do nordeste da França) escrito 1250 anos mais tarde.

O paralelo entre as obras de Villard de Honnecourt e a do arquiteto romano autor do De Architectura serve para destacar o grau de importância que também é atribuída à primeira, pela possibilidade de permitir acesso ao volume, tipo e qualidade do conhecimento geométrico entre os arquitetos mestres construtores no século XIII.

Este acesso não é muito amigável, pois enquanto o conteúdo da obra de Vitrúvio é relativamente mais fácil de compreender, porque é explicitado no texto, o manuscrito de Villard é de muito mais difícil compreensão, pois consiste de desenhos que permanecem obscuros para os não iniciados na tradição oral do século XIII.

No estudo de seus desenhos, defrontamo-nos com a Geometria Prática – a Geometria Fabrorum – que tinha de resolver problemas diários nos canteiros de obra e que revela uma fonte já pressentida: excertos de Os Elementos de Euclides.

Entender os cadernos de viagem de Villard de Honnecourt é realmente uma tarefa árdua que requer conhecimentos transdisciplinares. Entre questões de linguagem (dialeto da Picardia no século XIII) e vocabulário técnico, a análise dos desenhos de Villard também requer conhecimentos avançados em mecânica civil e militar, em arquitetura (materiais e técnicas), em gromática, a disciplina de medição da terra com a groma, assim como a medição de sólidos e objetos à distância e em estereotomia, a ciência do cálculo, desenho e corte de sólidos complexos, de pedra ou madeira para construção, conhecida na França como a art du trait ou a arte do traçado. (ZENNER,op.cit,2002).

Na bibliografia existente sobre os cadernos (segundo Carl F. Barnes Jr. a primeira menção é de 1666), aparecem ocasionalmente questões práticas de geometria da construção e bem raramente outras sobre as bases matemáticas da geometria vista como ciência.

O texto do geômetra Pappus (c.290 – c.350), também de Alexandria citado por Zenner (op. cit.,2003) e transcrito adiante, há muito havia advertido que era impossível adquirir competências em ambos os domínios e que se alguém precisasse trabalhar com geometria, o melhor caminho era através da experiência do que da teoria.

Diz Pappus:

“A Escola Mecânica de Heron dizia que a mecânica podia ser dividida entre Teoria e Parte Manual; a parte Teórica composta pela geometria, aritmética, astronomia e física, a Manual, por trabalho em metais, arquitetura, carpintaria e alguma coisa envolvendo habilidades com as mãos. O homem que tenha sido treinado desde sua juventude nas ciências anteriormente citadas, bem como praticado nas mesmas artes também citadas e que tenha uma mente versátil, poderia ser melhor arquiteto e inventor de aparelhos mecânicos. Mas como é impossível para a mesma pessoa familiarizar-se com os estudos matemáticos e ao mesmo tempo aprender sobre as artes mencionadas, instrui-se a pessoa a empreender tarefas práticas mecânicas, para usar os recursos dados a si pela atual experiência de sua arte especial.”

Neste contexto, Villard de Honnecourt foi sem dúvidas, um trabalhador geômetra (de acordo com o termo francês opératif) mais do que teórico.

Nas traduções latinas, os Livros de 1 a 4 de Os Elementos de Euclides, sobreviveram intactos, aparecendo no século VI, principalmente nos trabalhos de Boécio e Cassiodoro. Ao final do século VIII, estes textos são combinados com trabalhos dos agrimensores romanos – os gromáticos. Este interesse renovado pela geometria parece ter sido teórico e prático e o centro desta produção geométrico-gromático, localizou-se na Abadia de Corbie (cerca de 15 km a leste de Amiens).

Como não há documentação gráfica das ideias em projeto e construção durante o período românico, os historiadores confiaram em comparações entre os dois únicos documentos remanescentes de projeto arquitetônico: o plano de Saint-Gall (c.817 – 819) e os cadernos de Villard de Honnecourt (c. 1220 – 1235).

Como Corbie, a Abadia de Saint-Gall dedicava um profundo respeito ao aprendizado e ao conhecimento antigo. Além disso, o plano de Saint-Gall é contemporâneo ao reaparecimento dos textos geométricos-gromáticos de Corbie. A área compreendendo o nordeste da França, noroeste da Suíça e partes da Bélgica e Alemanha é considerada a principal zona influenciada por estes estudos da Abadia de Corbie. É também a maior concentração econômica, financeira e intelectual do norte da Europa no século XIII.

Fernand Braudel (op.cit.,1986) colocou a seguinte questão: “a geografia inventou Villard?” De fato, sua cidade natal localizava-se num cruzamento de caminhos comerciais, de saber e conhecimento que acompanhava muito de perto as mudanças econômicas daquela região europeia.

Esta região contava com a maior concentração de centros monásticos tradicionais, literários, Escolas Episcopais Urbanas, Escolas Urbanas e a nascente universidade de Paris.

3.1 – A estrutura e o conteúdo dos Cadernos

Os cadernos de Villard de Honnecourt, um documento do século XIII, infelizmente incompleto, está atualmente depositado na Biblioteca Nacional de Paris, com o número de tombo Ms Fr 19093.

Seu pequeno formato (160 mm x 240 mm) denota que sua natureza é mais de um caderno de anotações do que de um “tratado”, onde a sequência de pergaminhos recolheu as observações de um artista itinerante e curioso.

Os cadernos contêm croquis rápidos e outros mais elaborados, ideias, invenções e receitas para uso do próprio autor, mas que também foram dedicados aos seus sucessores no metier, como nos demonstra o texto de abertura da obra:

“Villard de Honnecourt vos saúda e pede a todos os que usarem os esquemas encontrados neste livro rezem por sua alma e lembrem-se dele. Neste livro você encontrará conselhos sobre alvenaria e carpintaria. Você também encontrará importante ajuda para desenhar figuras de acordo com as lições ensinadas pela arte da geometria.” ( Folha F1 v).

Villard emprega em seu manuscrito, uma tendência que se afirmava rapidamente em sua época: o uso da língua nacional (vulgar) nos documentos públicos, na literatura e nos escritos científicos, abandonando assim o latim de norma culta, que era o usual para estes casos. Foi precisamente na Champagne e na Picardia que apareceram as primeiras manifestações deste novo proceder.

Seu trabalho demonstra ainda um conhecimento de documentos herdados da Antiguidade, cuja fonte deve ter sido a Abadia de Corbie, testemunhando erudição segura e uma inspiração em monumentos que lhe eram contemporâneos.

Os cadernos de Villard de Honnecourt contêm numa parte, numerosos desenhos de figuras, homens, animais, motivos decorativos imaginados ou reproduzidos e noutra, projetos e levantamentos de máquinas e engenhos de canteiro de obras ou guerra, automação primitiva e acessórios móveis, figuras de geometria elementar e por fim plantas, elevações, cortes de edifícios e esquemas de construção ou detalhes técnicos.

Certos desenhos e textos são contribuições tardias de outros autores, como o Mestre II (c. 1250 – 1260), assim como alguns comentários são devidos aos sucessores – a Folha F1 r indica a posse do manuscrito por um herdeiro (BOWIE,op.cit.,1959) – responsáveis também por transcrições equivocadas dos comentários originais.

Os desenhos técnicos dos cadernos de Villard estão em duas grandes categorias: uma refere-se a procedimentos práticos do canteiro, dos processos de traçado ou corte de pedras e que parecem ser da experiência própria do autor e a outra aos mecanismos, que são desenhados ao natural ou de memória.

Dentre todos os desenhos dos cadernos, encontram-se alguns que os especialistas denominam de recursos mneumônicos ou de visualização e recordação de propriedades geométricas conhecidas pelo Ofício a que pertence o trabalhador e que devem permanecer ocultas ou como segredo profissional por imposição da Corporação.

Sua mais notável contribuição é mostrar-nos o quanto da geometria Euclidiana era conhecida e dominada praticamente, posto que seu ensino teórico ocorria unicamente nas Escolas Episcopais e Universidades, através dos textos de Boécio (c. 480 – 525) para a pequena parcela letrada da população que estudava o Quadrivium.

O manuscrito apresenta-se atualmente na forma de cadernos recobertos por uma capa marrom em couro, contendo uma série de folhas de pergaminho, de espessuras variáveis, com desenhos nas duas faces e que apresentam interferências pela transparência do próprio suporte. Supõe-se que oito folhas foram perdidas, pois uma anotação do século XV feita em sua última folha indicava que o original tinha quarenta e uma folhas (frente e verso).

A obra foi encadernada e costurada, porque Villard queria que seus desenhos e notas constituíssem um volume de fácil manuseio, o que só enfatiza sua destinação prática.

As folhas que subsistiram foram numeradas de 1 a 33 e estão reunidas em “cadernos” costurados. A denominação dessas trinta e três folhas de pergaminho de pele do porco aparece com um numeral seguido das letras r ou v.

Segundo o Dicionário Websters New Universal – Unabridged Dictionary, a letra r indica o lado direito de um livro ou manuscrito aberto – é a página da direita (recto folio) e a letra v indica o lado esquerdo de um livro ou manuscrito aberto – é a página da esquerda (verso folio).

A ordem em que os originais se encontram atualmente pode não ser necessariamente a original, pois se sabe que algumas folhas desapareceram. Além disso, como o manuscrito pertenceu a vários proprietários, estes podem ter mudado sua primeira organização.

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo II

Vitrúvio – Wikipédia, a enciclopédia livre

2 – Vitrúvio – De Architectura Libri Decem

A noção que nos foi legada acerca do grau de conhecimento da obra de Vitrúvio durante a Idade Média, provocou um equívoco, que a exemplo do epíteto Idade das Trevas perdurou até o período contemporâneo.

Nele, transparecia a ideia de que sua monumental obra sobre o saber arquitetônico acumulado desde a Antiguidade somente teria sido redescoberta pelos europeus através de um manuscrito do livro em 1416 (século XV). Esta façanha devia-se a um secretário apostólico que participava do Concílio de Constança no Mosteiro de Saint-Gall.

Hoje sabemos que isso é completamente falso. Procuraremos resgatar todo o percurso possível desde a gênese da obra até os séculos XII e XIII, com o intuito de demonstrar quais edições estavam (ao menos teoricamente) disponíveis neste período histórico, chamado de Renascimento Medieval e de onde vem o melhor registro gráfico do conhecimento geométrico medieval que era aplicado nas edificações, os Cadernos de Villard de Honnecourt.

Marcus Vitruvius Pollio foi um arquiteto que viveu no período republicano da Roma Antiga. As datas de seu nascimento e morte são controversas, mas localizam-se em torno de 90 AC e 20 AC. Era natural de Latium, de origem respeitável e que por isso recebeu boa educação.

Trabalhou em engenharia militar, tendo sido designado pelo Imperador como supervisor permanente das máquinas. Tinha pouca prática na profissão de arquiteto e aparentemente teve pouco sucesso.

Sua referência à Basílica de Fano como sendo de sua autoria, dá-nos a certeza de que era realmente um arquiteto e não um construtor de muralhas, portos, pontes ou aquedutos.

Na velhice, escreveu o De Architectura Libri Decem conhecido entre nós como Os Dez Livros da Arquitetura, um tratado arquitetônico que dedicou ao Imperador Otávio Augusto aproximadamente no ano 27 AC.

Ele não foi um homem de muita importância em seu tempo, mas seu trabalho escrito foi o único sobre a Arquitetura Antiga que sobreviveu, tornando-se de grande importância principalmente para os italianos no Renascimento e leitura essencial para os arquitetos. Sistematizou seu tratado, no qual discutiu com grande precisão e detalhe a teoria e a prática da arte arquitetônica.

Comenta vários escritores gregos e trata seu próprio trabalho como uma compilação de conhecimentos prévios. Por esta razão, o professor Júlio Roberto Katinsky ao prefaciar o livro Vitrúvio – Da Arquitetura na tradução de Lagonegro, 2002 comenta que Françoise Choay “remete o livro de Vitrúvio (talvez fazendo eco a Boullée) à categoria de livros de engenharia, nada tendo a ver com Arquitetura”.

Apesar da idade do texto (século I AC.) a primeira edição impressa e ilustrada foi feita em Roma apenas em 1511 (século XVI). A primeira edição impressa em latim – sem ilustrações – é de Veneza em 1486 (século XV).

Durante todo este tempo, cerca de 1500 anos, o texto não tinha o auxílio das ilustrações. Rafael supervisionou uma tradução italiana em 1520 e outra edição foi impressa em Como (1521) com comentários detalhados feitos por Cesare Cesariano e acompanhados de numerosas ilustrações.

O texto de Vitrúvio é obscuro e um pouco místico; seu latim muito difícil provocou o comentário de Alberti de que “os gregos pensavam que ele estivesse escrevendo em latim e os latinos, em grego”.

O trabalho de Vitrúvio é um dos muitos exemplos de textos latinos que devem sua sobrevivência ao escritório – scriptoria – do palácio de Carlos Magno, no início do século IX.

A procura e a cópia de manuscritos antigos ficou conhecida como Renascimento Carolíngio. Um dos mais antigos manuscritos do trabalho de Vitrúvio encontra-se na Biblioteca do Museu Britânico, conhecido como o Manuscrito Harley 2767.

Ainda que sua obra tenha sido conhecida na Idade Média, ela popularizou-se de fato no século XVI, provavelmente por efeito das ilustrações que se apresentam cada vez mais elaboradas. No corpo do trabalho são descritos muitos instrumentos utilizados pelos mestres pedreiros como por exemplo o chorobate, utilizado para nivelamentos e que aparece no Livro VIII, capítulo VI (RUA,op.cit,1998).

Na verdade, segundo o professor Júlio Roberto Katinsky, a revelação para o mundo do tratado de Vitrúvio ocorre em plena Renascença, passando assim a integrar-se após 1414 à nossa cultura ocidental e deixando de ser uma leitura de especialistas. Sua obra passa a ser mais citada e comentada então do que nos mil e quinhentos anos passados.

2.1 – De Architectura – referências do século I ao século XV

No longo caminho da história do conhecimento do texto de Vitrúvio, ele aparece sempre visto por duas ópticas: servindo como manual técnico para uns e obra erudita para outros.

Katinsky (op.cit.,1985,p.219-220) sustenta que a grande difusão do texto do engenheiro e arquiteto romano durante a Idade Média foi levada com certeza pelos frades e monges ligados à Igreja Romana, ilustrando a apreciação erudita. Face à disseminação de técnicas práticas, levanta ainda uma segunda hipótese (sugerida por William L. MacDonald), na qual a obra de Vitrúvio teria sido escrita para profissionais socialmente secundários, ficando este viés denotado pelos conselhos e observações morais frequentes nas introduções dos Livros e pela sua utilização como um manual de orientação técnica.

As referências à obra de Vitrúvio serão anotadas conforme sua aparição através dos séculos, no intuito de documentar períodos de maior ou menor contacto com seu texto.

Século I (1 – 100 da Era Cristã)

As primeiras referências a Vitrúvio aparecem cerca de 90 anos após sua morte, com Plínio, o Velho (23-79) em sua História Natural, a qual difere nas proporções estabelecidas por Vitrúvio para as ordens dórica e jônica e concorda com a toscana. Sextus Julius Frontinus (25-104) com sua obra De Aquis et Aqueductibus Urbis Romae, ao descrever o sistema de captação e condução de água que abastecia Roma, cita Vitrúvio como o possível introdutor na cidade do módulo quinaria, que tinha secção muito apropriada.

Século II (101 – 200)

Não se conhecem referências a Vitrúvio, mas supõe-se que seu texto fosse conhecido por eruditos como Tácio, Plínio, o Jovem e Suetônio. Embora os letrados não tenham deixado provas deste seu conhecimento, a atividade construtora foi intensa nos tempos de Trajano (98 – 117) e de seu sucessor Adriano (117 – 138): Fórum de Roma, as Termas e o Mercado.

Século III (201 – 300)

Aparece uma nova e atuante geração literária que se apaixona pelos escritores do passado. Ao lado de inúmeras obras, Cetius Faventinus e Gargilius Martialis retomam a obra de Vitrúvio.

Cetius Faventinus intitulou sua compilação como Artis Architectonicae Privatis Abreviatus Líber. Aqui, aparece pela primeira vez a palavra Polio junto ao nome de Vitrúvio. Isto fez surgir a hipótese de que eram várias as pessoas chamadas Vitrúvio. Choisy (1909,p.259) interpôs uma vírgula entre os nomes Vitrúvio e Polio, para justificar que era outro autor.

Isto nunca foi comprovado e assim o sobrenome Polio agregou-se naturalmente ao nome. No século IX, havia uma cópia desta obra na Biblioteca do Mosteiro de Saint-Gall.

Trata exclusivamente da arquitetura civil privada, não tendo seu texto o rigor científico de Vitrúvio, talvez por ser produto de um compilador e não de um arquiteto. Esta obra marca o início de um hábito muito importante, que é o de produzir manuais práticos, que seriam muito utilizados nos séculos seguintes.

Gargilius Martialis é posterior a Cetius Faventinus. Escreveu um compêndio prático, para o qual utilizou fontes como Vitrúvio e Cetius.

Sérvio (360 – 411), quatro séculos após a morte do arquiteto romano, em seu livro Commentarii sobre a Eneida de Virgílio, recorda que Vitrúvio escreveu sobre arquitetura. Embora seja uma breve citação, fica demonstrada que a memória de Vitrúvio não havia sido esquecida.

Século V (401 – 500)

Os últimos testemunhos da civilização antiga no Ocidente aparecem com grande importância na transmissão da cultura às épocas vindouras ao suceder antigos eruditos que se dedicaram principalmente à matemática, geografia e medicina.

Martianus Capella escreveu entre 410 e 439, As Bodas de Mercúrio, da Filologia e das Sete Artes Liberais, uma enciclopédia onde se sistematizava os estudos que perdurariam por toda a Idade Média: o Trivium (Gramática, Retórica e Dialética) e o Quadrivium (Aritmética, Geometria, Astronomia e Música) que juntos compõem as Sete Artes Liberais.

No seu Quadrivium desaparecem as matérias referentes a Arquitetura e Medicina que haviam sido aí anteriormente incluídas por Marcus Terencius Varron (116 – 27 AC). Apesar de Capella não tratar de arquitetura, refere-se ao gnomon descrito por Vitrúvio. Isto nos leva a crer que conhecia o De Architectura, fato comum entre os intelectuais da época.

Sidônio Apollinar (430 – 486) era de família nobre, tendo sido prefeito de Roma quando os bárbaros já invadiam as províncias romanas e o Império já dava mostras de seu colapso. Referiu-se a Vitrúvio em suas Cartas, comparando-o a Orfeu, Esculápio, Arquimedes e outros sábios da Antiguidade, entre estes Perdix, o mítico inventor do compasso.

Foi o último testemunho deixado pela Antiguidade sobre Vitrúvio nestes anos cruciais de encontro entre as civilizações romana e bárbara.

O agonizante Império Romano finalmente cai em 476, com a deposição do Imperador pelo godo Odoacro, inaugurando assim uma nova civilização no ocidente europeu que seria chamada de Idade Média.

Século VI (501 – 600)

Aparecem neste e no próximo século, os homens que pelo estudo e sabedoria serão denominados de Fundadores da Idade Média: Boécio, Cassiodoro, Isidoro de Sevilha e o Venerável Beda (do qual não se tem registro do conhecimento do texto vitruviano).

Mancio Severino Boécio (Roma 480 – Pávia 525) – de família romana nobre, tinha o cargo de mestre do palácio na corte do rei ostrogodo Teodorico. Boécio é chamado de o último romano, tendo escrito suas ideias baseado em Platão e Aristóteles.

Escreveu valiosos trabalhos sobre Geometria – tão importantes que ficaram por muito tempo conhecidos como a Geometria de Boécio – Aritmética, Astronomia e Música, não por acaso, disciplinas que integravam o Quadrivium.

Por força de seu cargo palaciano, conheceu as restaurações arquitetônicas empreendidas por Teodorico no Teatro de Pompeia, nas muralhas de Roma e nos Aquedutos de Ravena. Esta experiência faz supor que Boécio conheceu o texto de Vitrúvio, ainda mais que ideias e conceitos do arquiteto romano aparecem em seus escritos.

Admite também a missão que Vitrúvio atribuiu ao arquiteto, aumentando a diferença entre sensibilidade e razão: o operário trabalha empiricamente com a ferramenta e deve aceitar a direção do arquiteto e este, calcula com precisão por meio dos instrumentos (compasso). Aos sentidos correspondem aproximações, à razão, instrumentos de precisão.

Seus textos foram lidos e consultados por estudiosos durante toda a Idade Média.

Fávio Magno Aurélio Cassiodoro (Squillace 490 – 583) – ocupou o cargo de Mestre de Ofícios de Teodorico, no trabalho de salvar os monumentos antigos. No ano de 540 abandona a vida pública e funda em sua terra natal um monastério, denominado Vivarium, para onde se retirou com sua biblioteca.

Este monastério destaca-se pelas suas oficinas e pela contratação de artesãos não religiosos. O modelo de comunidade monástica apoiava-se na colaboração espiritual e manual. Seus monges copiam manuscritos clássicos e iniciou-se uma nova sistematização do Trivium e do Quadrivium.

Sua maior obra Institutiones Divinarum et Saecularium Litterarum é um ensaio sobre as artes e ciências. Cassiodoro busca sua estética nos números e nas proporções. Discute a dispositio, que é um termo derivado de Vitrúvio, provando com isso seu conhecimento do texto.

Recomenda ainda a seus monges, a leitura do obra de Gargilius Martialis, que provinha diretamente de Vitrúvio.

Século VII (601 – 700)

Isidoro de Sevilha (570 – 636) – foi nomeado arcebispo de Sevilha no ano 600, tornando-se chefe da Igreja cristã na Espanha. É o mais importante dos Fundadores da Idade Média.

Continuando com os critérios de Boécio e Cassiodoro, incorpora grande volume de conhecimentos ao compilar notas científicas, artísticas e todo tipo de trabalho de escritores e tratadistas da Antiguidade.

Valeu-se para tanto do primeiro Scriptorium da Espanha, onde reuniu vasta biblioteca. Nesta biblioteca encontravam-se duas obras de Vitrúvio: o De Architectura e o De Diversis Fabricis Architectonicis e os comentários de Sérvio sobre Virgílio, que fazem referências ao arquiteto romano.

Século VIII (701 – 800)

Das cópias conhecidas do De Architectura feitas até o final do século VIII figuram, a Harlleianus 2767 do Museu Britânico e a Regia Latina 1504 da Biblioteca do Vaticano, que provavelmente foi terminada no século IX.

Neste século, nasce Eginardo (770 – 840), artista e estudioso que terá papel destacado no Renascimento Carolíngio que se inicia com a coroação de Carlos Magno no ano 800.

Século IX (801 – 900)

Carlos Magno, o grande imperador do Ocidente, coroado no Natal do ano 800 pelo próprio Papa, tentou reviver o antigo Império do Ocidente, tendo como missão sustentar o cristianismo com a espada e com a cultura. Assim com a colaboração de guerreiros e sábios, tem início um renascimento cultural que ficou conhecido como o Renascimento Carolíngio e que se estendeu entre os séculos IX e X.

É neste meio que apareceu Eginardo, que conhecendo o tratado de Vitrúvio, interpreta-o para resolver problemas construtivos e criar soluções para as obras que perseguiam as ideias da arquitetura romana.

Eginardo compunha com os cânones do classicismo, aconselhando à compreensão e interpretação do De Architectura. Carlos Magno manifesta nos Libri Carolini seu orgulho em levantar igrejas magníficas segundo os modelos da Antiguidade indicados por Vitrúvio.

De acordo com o desejo do Imperador, Eginardo reviveu os fundamentos estéticos e técnicos da Antiguidade, procurando construir more romanorum, por efeito direto dos conceitos vitruvianos.

No ano 844, Rabano Mauro, arcebispo em Maguncia e autor do tratado De Universo Libri XXII,menciona no capítulo II do Livro XXI, as condições vitruvianas de dispositio, constructo e venustas.

As cópias conhecidas são: Bruxellensis 5253 da Biblioteca Real de Bruxelas (copiada entre 850 e 863) e a Gudianus 132 da Biblioteca Herzog-August de Wolfenbüttel, que contém um resumo de Cetius Faventinus.

Século X (901 – 1000) – Idade Média Central

No ano de 926, aparece a Constitutio de York que na verdade é um conjunto de regras de comportamento, convivência e obrigações dos Mestres Pedreiros, a qual em uma de suas prescrições aconselha o estudo dos tratados de Euclides e Vitrúvio.

As cópias conhecidas são: Pithoeanus Lat.10277 da Biblioteca Nacional de Paris; Scletstatensis,ms.17 da Biblioteca e Arquivos Municipais de Selestat; Cottonianus da Biblioteca Britânica; Franckeranus da Biblioteca Provincial de Leeuwarden (com texto integral); Leidensis Voss 88 da Universidade de Leiden e a Escorialensis 111,F.19 da Biblioteca do Monastério de San Lorenzo (com texto integral).

Século XI (1001 – 1100)

Durante este século, embora continuasse ainda a tradição carolíngia, aparece a Escolástica, com suas diversas escolas e começa a preparação para o maior momento criativo da Idade Média, que será chamado de renascimento do século XII, o Renascimento Medieval. É aqui que dar-se-á o nascimento efetivo da cristandade ocidental.

Embora floresça a arquitetura românica, encontramos alguns testemunhos de Vitrúvio através do uso de termos técnicos de seu vocabulário e da aplicação de sua teoria de proporções do corpo humano na igreja de São Fidelis em Como.

As cópias conhecidas são: Paris Lat. 7227 da Biblioteca Nacional de Paris (contém algumas ilustrações); Paris Lat. 1236 da Biblioteca Nacional de Paris; Harleianus 3859 da Biblioteca Britânica; Leidensis Voss 107 da Biblioteca de Leiden e Gudianus 69 da Biblioteca HerzogAugust de Wolfenbüttel.

Século XII (1101 – 1200)

O mundo medieval sente neste século melhorias nos aspectos materiais decorrentes de importantes progressos na agricultura, como a rotação dos campos para plantio, domínio da tração animal dos cavalos com o aprimoramento dos arreios e a liberação do uso da energia humana nos trabalhos.

Estas novas condições fortaleceram as cidades, com a produção de excedentes que para lá eram carreados. O crescimento demográfico logo se faz sentir e o consequente incremento comercial transforma a economia de tradição essencialmente agrícola em uma nova, de caráter monetário. O novo panorama transmite-se à arquitetura e às artes.

Este pré-Renascimento (do século XVI) , ficou conhecido como o Renascimento Medieval, surgindo então um grande interesse pela arqueologia e pela aquisição de antiguidades clássicas, especialmente elementos arquitetônicos utilizados pelos romanos.

John de Salisbury conheceu os tratados de Frontino e Capella, Adelard of Bath traduz do árabe Os Elementos de Euclides e na Espanha são traduzidos inúmeros manuscritos árabes dos clássicos gregos abrangendo uma infinidade de campos do conhecimento e da
filosofia. O Almagesto de Ptolomeu é uma destas obras traduzidas.

Da seleta classe dos literatos de então, os únicos que citam Vitrúvio são Thierry de Saint Trond em dois poemas onde celebra as máquinas maravilhosas (deve ter conhecido o De Architectura por ter residido na abadia de Eginardo) e Isaac Tzetzes em seus comentários ao Alexandra de Licofronte.

Não se conhecem citações pelos escritores escolásticos no século XII.

Petrus Diaconus continuou o Chronicon Monasterii Casinensis de Leo Ostiensis (1046 – 1115) onde descreve em detalhes a construção da abadia de Montecassino, que foi planejada de acordo com as ideias de Vitrúvio. As medidas e proporções do templo são relacionadas às do corpo humano.

Petrus escreveu também o Vitruvium De Architectura Abbreviavit, que é um resumo do tratado e que foi conservado na biblioteca da Abadia.

As cópias conhecidas são: Berlin 601 da Biblioteca Estatal de Berlim, contendo o texto quase completo e ainda o tratado De Arithmetica de Boécio; British Add. 38818 da Biblioteca Britânica com o texto completo; Roma Reg. Lat. 2079 e Roma Urb. Lat. 293, ambas da Biblioteca do Vaticano e com o texto completo.

Século XIII (1201 – 1300)

É o chamado Grande Século, pois abrigou um grande rei, São Luiz; um grande filósofo, São Tomás de Aquino; um grande pintor, Giotto e um grande literato, Dante Alighieri. É também o século das catedrais francesas – opus francigenum – e das universidades.

Restaura-se a filosofia grega com as traduções de textos árabes na importante Escola de Tradutores de Toledo na Espanha a aparecem as Summas de São Tomás de Aquino, Alberto Magno e Hugo de São Vitor.

A cristandade ocidental precisa então definir quais os aspectos da cultura pagã aristotélica poderia aceitar. As respostas serão tentadas pela Escolástica.

À estética do século XII que girava em torno de composição, beleza e proporções, junta-se um especial interesse a tudo que é claridade, luz e esplendor. É a resposta estética ao bem estar material que se instala e alarga os limites da vida terrena: se a luz é a fonte de
toda beleza, a luminosidade da arquitetura gótica se impõe.

A estética cisterciense de São Bernardo recusava tudo o que pudesse excitar a curiosidade ou o prazer nas abadias e com isso conduz a uma arquitetura despojada, simples e de proporções apenas necessárias. Os refinamentos levariam a arquitetura gótica, a partir da metade do século XIII, a iniciar sua decadência e a extrema habilidade dos Mestres Construtores, a executar variações formais de um problema já resolvido.

Neste ambiente de rigor cisterciense, mas de prosperidade econômica viveram três homens muito interessados no tratado de Vitrúvio: Vicente de Beauvais (1190 – 1264), São Alberto Magno (1206 – 1280) e São Tomás de Aquino (1225 – 1274).

Este interesse confirma a importância que os círculos cultos devotavam ao De Architectura, mesmo na época mais vigorosa da arte gótica.

Vicente de Beauvais cita textualmente a teoria vitruviana das proporções humanas em seu Speculum Naturale.

São Alberto Magno é o responsável por trazer a doutrina de Aristóteles para junto do cristianismo. Cita Vitrúvio em sua obra De Natura Locorum.

São Tomás de Aquino recebeu educação esmerada até a universidade e quando ingressou na ordem dos dominicanos, teve São Alberto Magno por professor. A ideia tomista de arte é aristotélica e encontra-se desenvolvida na Summa Teológica. Na arquitetura segue Vitrúvio, mas concede grande importância ao sentido da visão, pois na
ideia da apprehensio – conhecimento intuitivo – considera a contemplação visual o mesmo que o prazer estético, introduzindo com isso a perspectiva e a óptica.

As cópias conhecidas são: Harleianus 2760 da Biblioteca Britânica, com o texto completo; Roma Lat. 2230, Roma Lat. 6020, Roma Reg. Lat. 1328 todas da Biblioteca do Vaticano e com texto completo; Leidensis Voss. 93 da Biblioteca de Leiden que contem apenas extratos do texto; Escorialensis O .H.5 da Biblioteca do Monastério de San Lorenzo com o texto completo e Florentinus Plut.XXX,13 da Biblioteca Laurentiana de Florença também com o texto completo.

Século XIV (1301 – 1400) – o Trecento – Idade Média Tardia

Continua a concentração de riquezas e a elevação do nível material de vida, circunstância que possibilitará o aparecimento dos mecenatos que impulsionarão a produção e a divulgação da arte e da cultura.

Apesar de inúmeras calamidades como a Peste Negra que irrompeu em meados do século, o enriquecimento deu-se em proporção maior que no século anterior, onde determinados hábitos de vida estavam limitados às classes sociais superiores.

Os costumes ligados especialmente ao luxo difundiram-se para largos extratos da sociedade: prenunciava-se uma nova etapa da vida medieval.

Seria uma época tão diferente da medieval de até então, como esta fora da Antiguidade. Dante (1265 – 1321) escreve sua Divina Comédia em língua vulgar, destinada aos leitores leigos que tinham grandes dificuldades com o latim de norma culta, o padrão então vigente para as obras de literatura.

Esta nova postura frente à produção intelectual expandia a difusão da cultura erudita e escolástica às diferentes camadas da sociedade laica.

A concepção europeia de poder vai se tornando mais civil, derivada principalmente do estudo do Direito Romano. A nobreza e o clero ainda dominam a sociedade embora a crescente burguesia vá se infiltrando nos altos círculos do poder.

A individualidade humana começa a ser percebida através da busca do reconhecimento, colocando-se o artista não mais anonimamente a serviço da nobreza ou do clero, mas afirmando claramente seus dotes e talentos.

O trabalho dos artistas medievais dos séculos anteriores que quase sempre ficava anônimo é substituído pelo trabalho assinado do artista deste século. De fato, ainda permanecemos na Idade Média por convenção histórica, pois as transformações são muito relevantes.

Deste modo, a cristandade ocidental experimenta na literatura deste século, sob a influência dos Humanistas do Trecento, Dante (1265 – 1321), Petrarca (1304 – 1374) e Boccaccio (1313 – 1375) a nova tendência que a arte apresentará no próximo século: o culto apaixonado ao glorioso passado da Antiguidade.

Francesco Petrarca adquiriu entre 1351 – 1353 uma cópia do De Architectura, possivelmente de um exemplar francês, cujo texto corrigiu cuidadosamente. Seu propósito era a depuração da língua latina, a restauração do estudo do grego e o conhecimento pontual de textos da Antiguidade.

Giovanni Boccaccio era amigo e discípulo de Petrarca e contrariamente ao seu mestre, cujo tema básico era a volta aos clássicos, o seu era a volta à natureza. Copiou seu próprio exemplar do De Architectura do volume existente na Biblioteca da Abadia de Montecassino. Seu interesse pela obra foi provavelmente a curiosidade histórica e os aspectos filológicos.

As cópias conhecidas são: Paris Lat. 7228 da Biblioteca Nacional de Paris com texto completo; Eton B.I.4.10 da Biblioteca de Eton com texto completo; Etonensis Auctar F.5.7 da Biblioteca Blodeian de Oxford com texto completo; Medicensis Plut. XXX.10 da Biblioteca Laurentiana de Florença com texto completo; Estensis VI.B.10 da Biblioteca de Módena com o texto completo e o Da Aqueductibus de Frontino; Basilicus H.34 da Biblioteca da Basílica de São Pedro em Roma com texto completo; Cicognara 691 da Biblioteca do Vaticano com texto completo; Ottoboni 1522 da Biblioteca do Vaticano com texto completo; Roma Lat. 2229 da Biblioteca do Vaticano com texto completo; Wratislaviensis R.142 da Biblioteca Municipal de Wroclaw com texto completo e Oxford Laud 66B da Biblioteca do St. John’s College de Oxford com texto completo.

Século XV (1401 – 1500) – o Quattrocento

Em 1440 é fundada em Florença a Academia Platônica, com o propósito de abandonar a Escolástica e renovar a filosofia antiga. O espectro da necessidade de uma reforma religiosa começa a materializar-se.

Niccolo Cusano (1401 – 1464) tenta superar as contradições e colocar de acordo o mundo e Deus, acalmando as inquietudes espirituais que a força do pensamento racionalista suscita e que vai provocando uma deterioração nos conceitos da Igreja.

Os grandes nomes deste século: Filippo Brunelleschi (1377 – 1446), arquiteto, vencedor do concurso para a construção da cúpula da Igreja de Santa Maria das Flores em Florença; Fra Angélico (c.1400 – 1455) que pinta a primeira pespectiva; Paolo Ucello (1397 – 1475) com a complexa perspectiva do afresco da Natividade e com grande influência sobre Piero della Francesca e Leonardo da Vinci e Leon Batista Alberti (1404 – 1472) que escreve em língua vulgar seu tratado Da Pintura e o dedica a Brunelleschi.

As formas arquitetônicas criadas por Brunelleschi e baseadas na maneira romana, ressuscitaram o modo antigo de construir e seu trabalho de restaurador da arquitetura clássica iria condicionar os séculos seguintes.

Isto faz supor que Brunelleschi conheceu o tratado de Vitrúvio, embora não se tenha prova disso. Mas, se considerarmos o seu relacionamento social e cultural, num meio onde se encontravam artistas, eruditos, cientistas e construtores, é muito provável que algum deles conhecesse o De Architectura e comentasse o fato. Além disso, a descoberta em 1416 do texto de Vitrúvio no Mosteiro de Saint Gall foi um fato de grande repercussão para o circuito cultural.

Talvez o fato de Brunelleschi não dominar muito bem o latim, possa fortalecer a hipótese do conhecimento do texto através de outras pessoas e com isso desobrigá-lo de seguir estritamente seus preceitos, fato confirmado em sua interpretação pessoal de alguns daqueles cânones vitruvianos.

Lorenzo Ghiberti, que conhecia o tratado de Vitrúvio também foi escolhido no concurso para a construção da cúpula de Florença, tendo colaborado com Brunelleschi. Escreveu no fim da vida, os Commentarii, onde seu o programa para a educação do arquiteto é retirado de Vitrúvio, as proporções prescritas são criticadas em função do estabelecimento de suas próprias.

Muitos historiadores consideram que é no Quattrocento italiano que se reiniciou o culto a Vitrúvio, com a descoberta da cópia de seu tratado por Poggio Bracciolini no Monastério de Saint-Gall em 1416, quando estava a serviço da Chancelaria do Vaticano no Concílio na cidade de Constanza.

Na verdade, Petrarca e seus amigos já haviam iniciado esta difusão desde o século XIV.

Leon Batista Alberti, chamado de o último vitruviano medieval, desenvolve uma interpretação pessoal dos conceitos de Vitrúvio. O artista utilizando o critério medieval de repetidas medições nas ruínas romanas, procurava recuperar as proporções e estudá-las comparativamente com as normas vitruvianas.

Com estes critérios e seu espírito humanista, escreve o Descriptio Urbis Romae por volta de 1450, onde os edifícios são locados com a utilização de coordenadas polares.

Sua obra maior, porém é o tratado De Re Aedificatoria, que supera toda sua produção anterior.

O mesmo caminho de Vitrúvio que aprendeu analisando monumentos, textos e documentos gregos, Alberti trilhou ao modernizar para sua época as tradicionais ideias helenísticas. Catorze séculos depois, Alberti aprende com a análise das ruínas romanas para escrever sua obra.

Ambos se apoiavam em conceitos análogos, mas tinham objetivos diferentes: Vitrúvio escreveu primeiramente para arquitetos e depois para literatos; Alberti se dirige aos humanistas e secundariamente aos arquitetos, que poderiam eventualmente tirar daí alguma utilidade.

Esta postura deixa claro que o propósito desta produção cultural é dirigido às classes eruditas e não à categoria dos mestres construtores das Corporações de Ofícios. Aí, como veremos reinará a Geometria Fabrorum e a transmissão oral do conhecimento prático.

Vitrúvio, como arquiteto compôs o De Architectura para ensinar a prática da arquitetura e define para isso as regras de execução: firmitas, utilitas e venustas enquanto Alberti como humanista em sua De Re Aedificatoria valoriza a arquitetura como arte suprema, considerando que seus materiais, função e beleza têm como única  finalidade criar um edifício que valorize o entorno e a cidade (CERVERA VERA,1978).

Este século apresenta o maior número de cópias do tratado de Vitrúvio. As cópias conhecidas são: Wien Ms.54 com resumo do texto vitruviano; Wien Ms.310 com fragmentos do Livro III; Wien Ms.3113 com o texto completo, todos da Biblioteca Nacional de Viena; Paris Lat. 7382 com texto completo; Paris Nouv.Acq.Lat.1422 com texto completo, ambos da Biblioteca Nacional de Paris; Berlin Cód. Lat.Quart.735 com texto completo da Biblioteca de Berlim; British Arundel 122 com texto completo; British Harley 2508 com texto completo; British Harley 4870 com texto completo, todos da Biblioteca Britânica; Budapest Ms.32 com texto completo da Biblioteca Universitária de Budapeste; Bologna Ms. 1215 com texto completo da Biblioteca Universitária de Bologna; Cesena Plut. XX,Cód.111 com texto completo da Biblioteca Malatestiana de Cesena; Medicea-Laurenziana Acq.E Don.297 com texto completo; Medicea-Laurenziana Plut. XXX,11 com texto completo; MediceaLaurenziana Plut. XXX,12 com texto completo, todos da Biblioteca Laurentiana de Florença; Firenze Magl. XVII, Cód.5 com texto completo da Biblioteca Nacional de Florença; Ambrosiana A 90 Sup. com texto completo; Ambrosiana A 137 Sup. com texto completo, ambos da Biblioteca Ambrosiana de Milão; Corsini Ms. 784 com texto completo da Biblioteca Corsini de Roma; Vallicella Ms. D31 com texto completo e uma seleção de textos de Faventinus da Biblioteca Patrum Oratori de Roma; Barberini Lat. 90 com o texto completo; Chisianus H. IV. 113 com texto completo; Chisianus H. VI. 189 com texto completo; Cicognara 692 contendo apenas os três primeiros Livros; Ottoboni 1233 com texto completo; Ottoboni 1561 com texto completo; Ottoboni 1930 com texto completo; Palatinus Lat. 1562 com texto completo; Palatinus Lat. 1563 com texto completo e o tratado Stratagematicon de Frontino; Roma Reg. Lat. 1965 com texto completo; Roma Urb. Lat. 1360 com texto completo, todos da Biblioteca do Vaticano; Marciano Classis XVIII, Cód. 1 com texto completo; Marciano Classis XVIII, Cód. 2 com texto completo, ambos da Biblioteca Marciana de Veneza; Kurnik com texto completo da Biblioteca do Monastério Zamoyski em Kurnik na Polônia; Toledo Reg. CDXVI, 581 com texto completo da Biblioteca do Cabildo de Toledo; Valencia Ms. 2411 com texto completo da Biblioteca da Universidade de Valencia e Metropolitan Museum com texto completo do Departamento de Impressos do Museu Metropolitano de Artes de Nova York.

Em 1453, cai Constantinopla em poder dos turcos e junto com o Império Bizantino termina historicamente a Idade Média. Os diferentes aspectos culturais e condições materiais existentes no século XV serão impulsionados e claramente definidos no século XVI, com o Renascimento, na Idade Moderna.

2.2 – A organização da Obra

Marcus Vitruvius Pollio produziu o mais famoso e importante texto do mundo ocidental, versando sobre arquitetura paisagística, arquitetura, engenharia civil, engenharia mecânica e planejamento urbano.

A preocupação em varrer campos tão extensos e diferentes no entender atual justificava-se, pois nos tempos romanos, o arquiteto era o técnico principal, exatamente como ensinava a etimologia grega de origem desta palavra.

O conteúdo da obra revela mais aspectos de engenharia (construção de portos, planejamento urbano, aquedutos, bombas, relógios e máquinas de guerra), parecendo ser este o principal escopo do autor. Somente uma pequena porção de assuntos tem como foco principal a arquitetura.

Os assuntos principais e os capítulos de cada um dos Dez Livros de Vitrúvio, em terminologias atuais são relacionados a seguir.

  • Livro I – Arquitetura Paisagística
    Prefácio – Elogios e agradecimentos ao Imperador
    Capítulo I – A educação do arquiteto
    Capítulo II – Os principais fundamentos da Arquitetura
    Capítulo III – As divisões da Arquitetura
    Capítulo IV – O sítio da cidade
    Capítulo V – Os muros da cidade
    Capítulo VI – A direção das ruas e comentários sobre os ventos
    Capítulo VII – Os lugares para edifícios públicos
  • Livro II – Materiais de construção
    Introdução
    Capítulo I – As origens da habitação
    Capítulo II – A substancia primordial de acordo com os físicos
    Capítulo III – Tijolos
    Capítulo IV – Areia
    Capítulo V – Cal
    Capítulo VI – Cimento Pozolânico
    Capítulo VII – Pedras
    Capítulo VIII – Métodos para construir muros
    Capítulo IX – Madeiras
    Capítulo X – Abetos da região do mar Tirreno e do Adriático
  • Livro III – Templos (Parte I)
    Introdução
    Capítulo I – Simetria nos templos e no corpo humano
    Capítulo II – Classificação dos templos
    Capítulo III – As proporções de intercolúnios e colunas
    Capítulo IV – Fundações e infraestrutura dos templos
    Capítulo V – Proporções: base, capitel e entablamento da ordem Jônica
  • Livro IV – Templos (Parte II)
    Introdução
    Capítulo I – A origem das três ordens e as proporções do capitel coríntio
    Capítulo II – Os ornamentos das ordens
    Capítulo III – Proporções dos Templos Dóricos
    Capítulo IV – A Câmara Principal e o Vestíbulo
    Capítulo V – A aparência dos Templos
    Capítulo VI – A circulação nos Templos
    Capítulo VII – Templos Toscanos
    Capítulo VIII – Templos circulares e variantes
    Capítulo IX – Altares
  • Livro V Espaços Públicos
    Introdução
    Capítulo I – O Fórum e a Basílica
    Capítulo II – O Tesouro, a Prisão e o Senado
    Capítulo III – O Teatro: seu lugar, fundações e acústica
    Capítulo IV – Harmonia
    Capítulo V – Som no Teatro
    Capítulo VI – Planta do Teatro
    Capítulo VII – Teatro Grego
    Capítulo VIII – Acústica do lugar do Teatro
    Capítulo IX – Colunatas e passeios
    Capítulo X – Banhos
    Capítulo XI – O Ginásio
    Capítulo XII – Portos, quebra-mar e estaleiros
  • Livro VI – Habitação Privada
    Introdução
    Capítulo I – O clima como determinante no estilo da casa
    Capítulo II – Simetria e modificações para adaptação ao sítio
    Capítulo III – Proporções das principais salas
    Capítulo IV – Exposições apropriadas nos diferentes espaços
    Capítulo V – Adaptação de salas
    Capítulo VI – O proprietário
    Capítulo VII – A casa da fazenda
    Capítulo VIII – A casa grega
    Capítulo IX – Fundações e infraestrutura
  • Livro VII – Acabamentos e Cores
    Introdução
    Capítulo I – Pisos
    Capítulo II – Cal extinta para estuques
    Capítulo III – Abóbadas e trabalho em estuque
    Capítulo IV – O trabalho de estuque em lugares úmidos e a decoração
    da sala de jantar
    Capítulo V – A decadência do afresco
    Capítulo VI – Mármore para uso em estuque
    Capítulo VII – Cores naturais
    Capítulo VIII – Cinabre e mercúrio
    Capítulo IX – Cores artificiais: preto, azul e ocre queimado
    Capítulo X – Chumbo, pátina de cobre e resina amarela
    Capítulo XI – Roxo púrpura
    Capítulo XII – Substitutos para roxo púrpura, amarelo ocre, verde e anil
  • Livro VIII – Abastecimento de Água
    Introdução
    Capítulo I – Como encontrar água
    Capítulo II – Água de chuva
    Capítulo III – Propriedades de diferentes águas
    Capítulo IV – Testes para determinar boas águas
    Capítulo V – Nível e instrumentos de nivelamento
    Capítulo VI – Aquedutos, fontes e cisternas
  • Livro IX – Relógios de Sol e Relógios
    Introdução
    Capítulo I – O Zodíaco e os planetas
    Capítulo II – As fases da Lua
    Capítulo III – O curso do Sol através dos doze signos
    Capítulo IV – As constelações do Norte
    Capítulo V – As constelações do Sul
    Capítulo VI – Astrologia e previsão do tempo
    Capítulo VII – Escala gráfica da declinação do sol e aplicações
    Capítulo VIII – Relógio de Sol e Relógio de Água
  • Livro X – Engenharia Mecânica
    Introdução
    Capítulo I – Máquinas e Implementos
    Capítulo II – Máquinas de levantar pesos
    Capítulo III – Os elementos do movimento
    Capítulo IV – Máquinas para elevar água
    Capítulo V – Engrenagens e Moinhos d’água
    Capítulo VI – O parafuso de Arquimedes (rosca d’água)
    Capítulo VII – A bomba de Ctesibius
    Capítulo VIII – O órgão de água
    Capítulo IX – O Hodômetro
    Capítulo X – Catapultas e escorpiões
    Capítulo XI – Balística
    Capítulo XII – Cabos e ajustes da catapulta
    Capítulo XIII – Máquinas para sitiar cidades
    Capítulo XIV – A Tartaruga (plataforma de ataque)
    Capítulo XV – A Tartaruga de Hegétor de Bizâncio
    Capítulo XVI – Medidas de defesa

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo I

Os Postulados de Euclides – Ideias Geniais [02] | André L. Guimarães

1 – Os Elementos – a Geometria de Euclides

O contacto com a estrutura da obra monumental Os Elementos de Euclides é fundamental para constatarmos sua importância no desenvolvimento e na história da Matemática.

Após sua primeira versão impressa em Veneza em 1482, calcula-se em pelos menos mil o número de edições que foram tiradas. Talvez nenhum livro além da Bíblia tenha tido tantas edições. Além disso, nenhuma obra matemática teve relevância comparável a Os Elementos.

A insistência em colocar sua máxima importância no campo da matemática, está no fato de que durante toda a Idade Média e particularmente no período em estudo – séculos XII e XIII – a utilização da Geometria Euclidiana no campo da prática construtiva é bastante diminuta, restringindo-se a algumas Proposições do Livro I, das quais não se conheciam as demonstrações.

A invocação de Euclides deve ser entendida neste campo como um emblema e uma aspiração, mais do que o testemunho de uma aplicação real. Muitos citavam ou lembravam Euclides como forma de garantir um aval científico e veracidade a procedimentos práticos de seu trabalho, que não tinham provas geométricas (Rabasa-Diaz, op.cit.,2000).

As consequências advindas desta situação serão abordadas adiante. Apesar disso, Os Elementos de Euclides é a mais antiga obra matemática grega a chegar até nós: o trabalho de organização e sistematização foi tão memorável, que todas as obras matemáticas anteriores foram descartadas.

O pouco que sabemos sobre a pessoa de Euclides é através de Proclus (411 – 485):

“Este homem viveu no tempo de Ptolomeu I (que reinou no Egito de 306 AC até sua morte em 283 AC). Arquimedes que veio imediatamente após Ptolomeu I, faz menção a Euclides e conta que certa vez Ptolomeu I perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto para a geometria do que Os Elementos, ao que Euclides refutou dizendo que“ não havia um caminho real para a geometria”.

A mesma história contada por Stobaeus, um escritor grego do século V AC sobre Alexandre, o grande e Menaechmus, aluno de Eudoxus e que provavelmente foi tutor do rei. Diz que Alexandre pede a Menaechmus um ensino conciso da geometria, mas ele replica:

”Ó rei, através do país existem estradas reais e estradas para os cidadãos comuns, mas na geometria há somente uma estrada para todos”.

“Euclides é mais jovem que os alunos de Platão, mas mais velho que Erastosthenes e Arquimedes que eram contemporâneos”.

Este texto mostra que Proclus não tinha conhecimento correto do local de nascimento de Euclides, nem das datas de nascimento e morte. Podemos inferir através de Proclus que Euclides foi intermediário entre os primeiros alunos de Platão e Arquimedes. Platão morreu em 347 AC, Arquimedes viveu de 287 AC – 212 AC e Erastosthenes c.284 AC – 204 AC. Então, Euclides deve ter vivido em torno de 300 AC, o que é compatível com o reinado de Ptolomeu I (306 AC – 283 AC).

Atualmente, as datas mais concordes para o nascimento e morte de Euclides são 325 AC e 265 AC.

É muito provável que Euclides tenha recebido seu treinamento em matemática em Atenas, dos alunos da Academia de Platão e onde a maioria dos geômetras que poderiam ensiná-lo estava. Era também em Atenas onde os velhos escritores de elementos de geometria e outros matemáticos, cujos trabalhos alimentavam Os Elementos de Euclides, viviam e ensinavam.

Euclides não foi um Platônico. Proclus diz que ele foi da escola de Platão e estava muito perto de sua filosofia; na verdade isto era apenas uma tentativa dos Neo-Platônicos em conectar Euclides à sua filosofia, o que fica claro com a frase:

“por alguma razão própria, a finalização dos Elementos é a construção das chamadas figuras Platônicas.”

É evidente com esta ideia o desejo de Proclus em inferir que Euclides foi um Platônico, porque seu Elementos finaliza (Livro XIII) com a investigação sobre os cinco sólidos regulares, embora a última passagem denote seu esforço em mostrar que a construção dos cinco sólidos regulares era o fim e o objetivo com que a obra pretendia suprir a base para o estudo da geometria em geral .

Euclides ensinou e fundou uma escola em Alexandria. Uma estória contada por Stobaeus, acentua o espírito eminentemente teórico e investigativo de Euclides em oposição ao sentido prático. Assim que terminou de ensinar seu primeiro teorema para um aluno iniciante em geometria, este lhe perguntou:

mas o que eu vou ganhar aprendendo estas coisas? Euclides chama seu escravo e lhe diz dê-lhe três moedas, pois ele precisa ganhar alguma coisa com o que aprende.

Alexandria apesar de localizada onde hoje é o Egito, foi uma cidade grega, como seu nome completo revelava: Alexandria perto do Egito. A cidade tornou-se a mais importante do mundo oriental após a morte de Alexandre (Museu e Biblioteca de Alexandria, dos quais Euclides foi membro) e assim permaneceu até o domínio da corte de Cleópatra pelos romanos.

Enquanto Roma crescia, Alexandria mantinha-se como o centro intelectual do Império, espalhando sua influência desde os tempos de Euclides (300 AC) até a sua tomada pelos árabes em 641.

Durante a Idade Média muitos tradutores e editores chamavam Euclides de Euclides de Megara. Este engano nasceu da confusão entre Euclides e o filósofo Euclides de Megara que viveu por volta de 400 AC. A primeira referência a Euclides como Euclides de Megara ocorre no século XIV com Theodorus Metochita (c. 1332) que chamou “Euclides de Megara, filósofo socrático, contemporâneo de Platão” como autor de tratados de geometria. O equívoco permanece após a tradução e a edição impressa de Campanus feita em Veneza em 1482, a de Bartolomeo Zamberto em Paris,1516, a de Tartaglia em Veneza, 1565, a de Candalla em Paris, 1566 e a de Billingsley em Londres, 1570.

A mais importante tradução de Os Elementos para o latim é de Commandinus de Urbino (1509 – 1575) a quem pertence o crédito de colocar a matéria do primeiro tradutor sob suspeita e corrigir o erro a que as pessoas foram induzidas a acreditar que Euclides era o mesmo que o filósofo Euclides de Megara.

1.1 – Os Elementos de Euclides na Arábia

Para conhecermos um pouco mais a complexidade da obra de Euclides, vamos examinar alguns aspectos de sua trajetória pela Arábia, local de onde vieram os originais para as famosas traduções da Escola de Tradutores de Toledo na Península Ibérica. A primeira tradução da obra para o latim, feita por Adelard de Bath originou-se de fonte árabe.

O califa Al-Mansur (754-775) obteve do imperador bizantino uma cópia de Euclides entre os livros gregos e manuscritos guardados por Constantinopla. Seguindo o interesse pelas obras gregas da Antiguidade, outro califa, Al-Mamun (813-833) também conseguiu mais livros gregos. Esta coleta de material bibliográfico resultaria na existência da Casa da Sabedoria em Bagdá, cuja principal finalidade era traduzir obras do grego para o arábico. Foi uma antecessora da Escola de Tradutores de Toledo.

A versão dos Elementos de Al-Hajjaj é talvez o primeiro livro traduzido do grego para o arábico. O autor fez duas traduções: a primeira era conhecida como “Haruni” (para Harun) e a segunda, mais fiel, levou o nome de “Ma’muni” (para Al-Mamun). Seis livros desta segunda versão sobreviveram na Biblioteca de Leiden.

O prefácio da obra relata que no início do reinado de Harun (780-809), Al-Hajjaj recebeu a incumbência de traduzir os Elementos para o arábico. Depois, quando Al-Mamun tornou-se califa e interessou-se pelo estudo, Al-Hajjaj sentiu que poderia aumentar ainda mais este interesse, “se ele ilustrasse, explicasse e reduzisse o livro a dimensões menores”. Retirou coisas que considerava supérfluas, consertou lapsos, corrigiu e removeu erros até reduzir o livro, porém sem alterar a substância para o uso de homens com habilidades e devotados ao ensino.

A obra foi traduzida depois por Ishaq Hunain (morto em 910), diretamente do grego, devido ao seu exímio domínio da língua grega. Uma revisão foi feita em comum acordo entre Ishaq e Thabit, morto em 901 (9 anos antes de Ishaq). Sabe-se que Thabit consultou também os originais gregos em sua revisão.

Isto fica expresso nas notas marginais na versão para o hebreu de Os Elementos, feita a partir do trabalho de Ishaq e atribuída a Moses Tibbon (c. 1244-1274) e Jakob Machir (morto depois de 1306).

Os inúmeros acréscimos e elisões na obra são demonstrados na observação de Thabit de que a proposição citada no Livro IX como de número 31, não foi por ele encontrada antes nos gregos, mas somente no arábico. Com isso, duas conclusões são possíveis: os árabes tinham interesse pela autenticidade do texto grego e que Thabit não alterou o número de proposições da tradução de Ishaq.

A forma arábica atualmente mais acessível de Euclides é a versão de At-Tusi (1201-1274). Esta edição apareceu em duas formas, uma maior e outra menor. Da maior encontra-se em Florença apenas seis livros; foi publicada em Roma em 1594 em arábico e por isso poucos puderam lê-lo.

A forma menor que está em 15 livros encontra-se em Berlim, Munique, Oxford, Museu Britânico, Paris e Istambul (antiga Constantinopla). Foi impressa em Constantinopla em 1801.

O trabalho de At-Tusi não é apenas uma tradução do texto de Euclides, mas um esforço de reescrever Euclides baseado em antigas traduções arábicas. Deste modo, parece ser como a versão latina dos Elementos de Campanus que foi publicada primeiro por Erhard Ratdolt em Veneza em 1482 – a primeira versão impressa de Euclides.

Campanus (século XIII) foi um matemático que usou da mesma liberdade de At-Tusi para editar Euclides. A relação entre a versão de Campanus e a de Adelard de Bath (c. 1120) foi que ambos usaram a mesma versão latina dos séculos X-XI. É certo que ambas as versões proveem de fontes arábicas, pela ocorrência de palavras árabes no texto.

A versão de Campanus não serve ao propósito de atestar a autenticidade das tradições grega e árabe, mas preserva alguns traços da fonte original como quando omite a adição feita por Theon ao Livro VI. É curioso que enquanto a versão de Campanus concorda com a de At-Tusi no número de proposições (teoremas) em todos os livros de Euclides, exceto no V e no IX, ele concorda com Abelard de Bath com as 34 proposições (teoremas) do Livro V (contra 25 em outras versões).

Isto confirma que Campanus e Adelard não são independentes e também levanta uma dúvida: ou as adições ao Livro V são do próprio Adelard ou ele usou uma versão arábica de Euclides desconhecida até hoje.

Os autores que trabalharam sobre fontes gregas são: Gregory of St. Vincent que publicou em 1647 Opus Geometricum Quadraturae circuli et sectionum coni; August,E.F. que publicou em Berlim (1826-9) a última edição sobre o texto grego antes de Heiberg – Livros I ao XIII e Heiberg, J.L que publicou em Leipzig (1883-1916) os 9 volumes de Euclid Opera Omnia.

1.2 – A organização da Obra

Os livros que compõem Os Elementos são os mais antigos tratados gregos que chegaram até nós. Ao escrevê-los Euclides pretendia reunir num texto três grandes descobertas de seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto e a teoria dos cinco sólidos regulares (poliedros) de Platão.

A obra está dividida em treze livros (os Livros XIV e XV não são de autoria de Euclides), que ao contrário do senso comum, não tratam apenas de Geometria, mas têm seus assuntos assim distribuídos:

Livros I a IV – tratam de geometria plana elementar. São os Livros que mais nos interessam, pois são os únicos que comparecem com alguns ensinamentos nos desenhos e croquis dos séculos XII e XIII, especialmente nos cadernos de Villard de Honnecourt (c. 1225-1235). Parte de propriedades elementares de retas e ângulos que vão conduzir à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao Teorema de Pitágoras (Livro I – proposição 47), à construção de um quadrado com área igual à de um retângulo dado, à secção áurea, ao círculo a aos polígonos regulares.

Livro V – apresenta a Teoria das Proporções de Eudoxo (408 – 355 AC) em sua forma puramente geométrica.

Livro VI – dedica-se aos problemas de semelhança de figuras planas. Retorna à secção áurea e ao Teorema de Pitágoras (proposições 30 e 31) como teoremas referentes a razões entre grandezas. A proposição 27 deste Livro contém o primeiro problema de máxima que chegou até nós, ou seja, provou que o quadrado é de todos os retângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima.

Livros VII a IX – são dedicados à Teoria dos Números: divisibilidade de inteiros, adição de séries geométricas, algumas propriedades dos números primos e a prova da irracionalidade do número pi (Teeteto 417- 369 AC).

Livro X – é considerado o mais difícil entre todos os Livros. Contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e suas raízes.

Livros XI a XIII – tratam da geometria sólida e conduzem através dos ângulos sólidos aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e ao que parece ter sido considerado o ponto mais alto da obra, à discussão dos cinco poliedros regulares (chamados platônicos) juntamente com a prova de que somente existem estes cinco poliedros regulares. Esta discussão é a causa de Proclus ter afirmado que Euclides era também platônico, pois a teoria dos cinco sólidos regulares ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.

Em algumas versões dos Elementos, aparecem os Livros XIV e XV, que não são de Euclides. O Livro XIV pode ter sido escrito por Hypsicles (viveu na segunda metade do século II AC) com base num tratado de Apolonius sobre cônicas e o Livro XV talvez tenha sido escrito por Isidoro de Mileto (que viveu por volta de 532), arquiteto da catedral de Santa Sofia em Constantinopla.

Os Elementos de Euclides têm por isso uma importância ímpar na história da Matemática, pois não apresenta a Geometria como um agrupamento de dados desconexos, mas como um sistema lógico. As definições, os axiomas ou postulados (que fixam a existência de entes fundamentais como o ponto, a reta e o plano) e as proposições (teoremas) não aparecem agrupados ao acaso, mas numa ordem perfeita. Cada proposição resulta das definições, axiomas e das próprias proposições anteriormente provadas, de acordo com uma demonstração rigorosa.

Euclides foi o primeiro a utilizar este método, chamado axiomático. Deste modo, seus Elementos constituem o primeiro e maior exemplo de um sistema lógico que se tornaria modelo almejado até hoje por outras ciências.

1.3 – O conteúdo do Livro I

É muito esclarecedor conhecer o conteúdo deste primeiro Livro, que trata da Geometria Plana. Parte de seu conteúdo irá fazer parte dos cadernos e compilações na forma de “segredos” (sem provas matemáticas) dos Mestres Construtores, ciosamente guardados pelas Corporações de Ofício. [grifo nosso do blog]

Dada a complexidade de Os Elementos, obra que se revela mais inclinada à ciência matemática e, portanto de viés teórico, percebemos que a utilização prática procurada pelos mestres construtores é bastante difícil e improvável dada a exigência de conhecimento matemático de nível não usual.

Os procedimentos práticos virão mais diretamente do fazer cotidiano dos agrimensores romanos (Balbus com De Mensuris – Gromatic Veteres) como abordaremos adiante.

Como a maioria dos treze livros, o Livro I começa com uma lista de Definições, sem qualquer comentário. A definição é como uma abreviação. O principal na arte de criar matemática é a formulação das definições apropriadas. Sócrates dizia que “o começo da sabedoria é a definição dos termos”.

Em seguida às Definições (em número de 23) aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas. Os Postulados (em número de 5) são proposições geométricas específicas. São leis que não receberão demonstrações, mas que figurarão como premissas básicas. Postular significa “pedir para aceitar”.

As Noções Comuns ou Axiomas (em número de 5) tratam de questões de caráter geral e não específicas da geometria. Os problemas procuram novas entidades geométricas a partir de um dado conjunto. A solução de um problema é chamada de construção.

Livro I

Definições

  1. um ponto é aquilo que não tem partes.
  2. uma linha é um comprimento sem largura.
  3. os extremos de uma linha são pontos.
  4. uma linha reta é uma linha traçada uniformemente com os pontos sobre si.
  5. uma superfície é aquilo que só tem comprimento e largura.
  6. os lados de uma superfície são linhas.
  7. uma superfície plana é uma superfície traçada uniformemente com suas retas sobre si.
  8. um ângulo plano é a inclinação, em relação uma com a outra, de duas retas de um plano que se cruzam entre si e não estão na mesma reta.
  9. quando as linhas que contém o ângulo são retas, o ângulo é chamado retilíneo.
  10. quando uma reta é colocada sobre outra reta de maneira que os ângulos adjacentes sejam iguais, cada um dos ângulos é chamado reto e a reta superposta diz-se perpendicular à primeira.
  11. um ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.
  12. um ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
  13. uma fronteira é aquilo que é a extremidade de alguma coisa.
  14. uma figura é tudo aquilo que fica delimitado por qualquer fronteira ou fronteiras.
  15. um círculo é uma figura plana fechada por uma linha tal que todos os segmentos que sobre ela estejam e que passem por um ponto determinado do interior da figura sejam iguais entre si.
  16. e o ponto é chamado centro do círculo.
  17. o diâmetro do círculo é uma linha reta desenhada passando pelo centro e terminando em ambas as direções na circunferência do círculo e como uma linha reta, também bissecta o círculo.
  18. o semicírculo é a figura contida pelo diâmetro e a circunferência é cortada por ele. O centro do semicírculo é o mesmo do círculo.
  19. figuras retilíneas são aquelas delimitadas por linhas retas, figuras triláteras são contidas por três, quadriláteras são contidas por quatro e multiláteras são contidas por mais de quatro linhas retas.
  20. nas figuras triláteras, o triangulo equilátero é aquele que tem os três lados iguais, um triangulo isósceles é aquele que tem dois de seus lados iguais e um triangulo escaleno é aquele que tem os três lados diferentes.
  21. ainda nas figuras triláteras, um triangulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto, um triangulo obtusângulo é aquele que tem um ângulo obtuso e um triangulo acutângulo é aquele que tem três ângulos agudos.
  22. das figuras quadriláteras, o quadrado é aquele que tem os lados iguais e os ângulos retos; um oblongo (retângulo) é aquele que tem ângulos retos mas os lados não são iguais; o rombo (losango) é aquele que tem os lados iguais e os ângulos não retos e o rombóide (paralelogramo) é aquele que tem seus lados opostos e ângulos iguais a outro, mas não tem os lados iguais nem os ângulos retos. Chamemos outros quadriláteros que não tenham estas condicionantes de trapézio.
  23. retas paralelas são linhas retas que estando no mesmo plano, prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, não se cruzam.

Postulados

  1. dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.
  2. um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta.
  3. dados um ponto qualquer e uma distancia qualquer, pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distancia dada.
  4. todos os ângulos retos são iguais entre si.
  5. se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.

Noções Comuns ou Axiomas

  1. duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
  2. se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados continuarão sendo iguais.
  3. se quantias iguais forem subtraídas das mesmas quantias, os restos serão iguais.
  4. coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
  5. o todo é maior do que as partes.

Proposições (Teoremas)

A Proposição 1 é uma das mais conhecidas e divulgadas nos compêndios para uso prático. Nos cadernos de Villard de Honnecourt esta Proposição é ilustrada pelo desenho “mneumônico” dos flamingos.

Figure 2 for Marie-Thérèse Zenner's Villard de Honnecourt and ...Os Flamingos – Folha F 18v . Os pescoços lembram a obtenção de
perpendiculares a uma linha. Roland Bechmann chama este desenho de figura de memória.
Extraído de Zenner, (op.cit.,2002).
  1. sobre um segmento de reta construir um triangulo equilátero.
  2. sobre um ponto dado (usado como extremidade) desenhar uma linha reta igual à linha reta dada.
  3. dadas duas linhas retas diferentes, determinar sobre a linha maior, um comprimento igual à menor.
  4. se dois triângulos tem dois lados iguais respectivamente e tem os ângulos contidos por linhas retas iguais, eles terão também as bases iguais; os dois triângulos serão congruentes e os ângulos restantes serão iguais entre si.
  5. num triangulo isósceles os ângulos da base são iguais e se linhas retas iguais forem traçadas, os ângulos resultantes também serão iguais.
  6. se num triangulo dois ângulos são iguais ao de outro triangulo, os lados compreendidos entre os ângulos iguais são também iguais entre si.
  7. dadas duas linhas retas construídas sobre as extremidades de outra linha reta e que se encontram em um ponto, não se pode construir sobre a mesma linha reta (em suas extremidades) e do mesmo lado, duas outras linhas retas iguais às anteriores e que se encontrem em outro ponto.
  8. se dois triângulos tem dois lados e bases respectivamente iguais, os ângulos contidos entre os lados iguais também serão iguais.
  9. bissecar um ângulo retilíneo dado.
  10. determinar o ponto médio de um segmento de reta dado.
  11. desenhar uma perpendicular sobre uma reta passando por um ponto dado sobre ela.
  12. por um ponto dado fora de uma reta dada, construir a perpendicular à reta passando pelo ponto.
  13. se uma linha reta encontrar outra linha reta, ela poderá determinar ou dois ângulos retos ou ângulos cuja soma é igual a dois retos.
  14. se numa linha reta e um ponto dado sobre ela traçarmos duas linhas do mesmo lado e por este ponto, elas formarão ângulos adjacentes cuja soma é igual a dois retos.
  15. se duas linhas retas se cortam, elas produzem ângulos verticais iguais.
  16. em qualquer triangulo, se um dos lados produzir um ângulo externo, ele é maior que o ângulo interno e igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
  17. em qualquer triangulo a soma de dois ângulos é menor que dois ângulos retos.
  18. em qualquer triangulo o maior lado é oposto ao maior ângulo.
  19. em qualquer triangulo o maior ângulo é oposto ao maior lado.
  20. em qualquer triangulo a soma de dois lados é maior que o terceiro.
  21. se sobre um dos lados de um triangulo, a partir de suas extremidades construirmos duas linhas retas que se encontram dentro do triangulo, as linhas retas construídas serão menores que os outros dois lados remanescentes, mas conterão um ângulo maior que o oposto ao lado escolhido.
  22. para construir um triangulo com três segmentos de reta dados é necessário que o comprimento da soma de dois deles seja maior que o remanescente.
  23. sobre uma linha reta e um ponto dado sobre ela construir o ângulo retilíneo igual a outro ângulo retilíneo dado.
  24. se dois triângulos tem dois lados respectivamente iguais, mas tem um dos ângulos contidos pelas linhas retas iguais maior que o outro, a base deste será maior que o outro.
  25. se dois triângulos tem lados respectivamente iguais, mas uma das bases maior que a outra, ele terá também o ângulo contido pelos lados iguais, maior.
  26. se dois triângulos tem respectivamente dois ângulos iguais e um lado entre eles igual a outro lado, o ângulo e os lados remanescentes são iguais.
  27. se uma linha reta cortar duas linhas retas formando ângulos alternadamente iguais, as linhas retas são paralelas.
  28. se uma linha reta cortar duas linhas retas formando um ângulo externo igual ao interno no mesmo lado ou os ângulos interiores do mesmo lado iguais a dois ângulos retos, as linhas retas são paralelas.
  29. uma linha reta corta linhas paralelas ela forma ângulos externos iguais, o ângulo externo igual ao interno e oposto pelo vértice e os ângulos internos do mesmo lado iguais a dois ângulos retos.
  30. duas linhas retas paralelas entre si são paralelas a uma outra.
  31. através de um ponto dado, desenhar uma linha reta paralela a uma linha reta dada.
  32. em qualquer triangulo, se um dos lados produz um ângulo externo, ele é igual à soma dos ângulos que não lhe são adjacentes e a soma dos três ângulos internos do triangulo é igual a dois retos.
  33. a junção de linhas paralelas e iguais (pelas suas extremidades) através de linhas retas, produz também linhas iguais e paralelas.
  34. num paralelogramo, os lados opostos e os ângulos são iguais e o diâmetro bisseca as áreas.
  35. paralelogramos iguais tem a mesma base sobre as mesmas paralelas.
  36. paralelogramos que tem as mesmas bases sobre as mesmas paralelas são iguais.
  37. triângulos iguais tem a mesma base e o terceiro vértice sobre a mesma paralela.
  38. triângulos com bases iguais e o terceiro vértice na mesma paralela são iguais.
  39. triângulos iguais com a mesma base e do mesmo lado tem o terceiro vértice na mesma paralela.
  40. triângulos com bases iguais ,do mesmo lado e com o terceiro vértice na mesma paralela, são iguais.
  41. se o paralelogramo tem a mesma base que o triangulo e estão sobre as mesmas paralelas, o paralelogramo é o dobro do triangulo.
  42. construir com um ângulo retilíneo dado, um paralelogramo igual ao triangulo dado.
  43. em qualquer paralelogramo a diagonal divide-o em duas partes iguais.
  44. sobre uma dada linha reta, construir com um ângulo dado um paralelogramo igual a um triangulo dado.
  45. construir com um ângulo retilíneo dado, um paralelogramo igual a uma figura retilínea dada.
  46. sobre uma linha reta, desenhar um quadrado.
  47. num triangulo retângulo o quadrado do lado oposto ao ângulo reto é igual ao quadrado dos lados que formam o ângulo reto (Teorema de Pitágoras).
  48. se num triângulo o quadrado de um dos lados é igual aos quadrados dos lados remanescentes, o ângulo contido pelos lados remanescentes é reto.

Com esta Proposição, encerra-se o Livro I. A Geometria Plana seguirá sendo exposta até o Livro IV, nesta mesma estrutura de Definições e Proposições.

A simples leitura destas Proposições revela-nos a essência de um raciocínio lógico-cumulativo, com algumas demonstrações (provas) que requerem um conhecimento matemático não encontrado facilmente no período medieval em estudo (séculos XII e XIII) e que por isso necessita de um tipo de transmissão oral para seu entendimento e aplicação prática pelos trabalhadores do canteiro.

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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“Quem não é geômetra não entre!” Geometria, Filosofia e Platonismo

Imagem relacionadaA Academia de Platão, artista desconhecido, mosaico, Pompeia, c. séc. I a. C.

O objetivo deste artigo é analisar, a partir dos textos de Platão e de comentadores, a apresentação de argumentos a favor da utilização da matemática e da geometria como propedêutica à aprendizagem da filosofia, bem como investigar as reverberações da ontologia e da epistemologia platônicas nesse programa pedagógico. Pretende-se, ainda, apontar comparativamente similaridades entre crises nos fundamentos da matemática e seu impacto na concepção de racionalidade, tanto no universo grego antigo como na contemporaneidade.

“Dois e dois são três” disse o louco.
“Não são não!” berrou o tolo.
“Talvez sejam” resmungou o sábio.
Skepsis, José Paulo Paes2

Introdução

Gostaríamos de começar este artigo com uma crônica de nossos dias. A revista Carta Capital, em sua coluna Brasiliana, de setembro de 2006, comenta o sumiço do “Professor”. Trata-se de uma história da Praça XV, no centro de Florianópolis, onde vivem diversos moradores de rua. Entre eles, o “Professor”:

Se autodenominava revolucionário e falava português, inglês, espanhol, francês, italiano, alemão, holandês, ao todo sete idiomas. Antes de ter ido embora, ensinava estas línguas aos colegas, logo depois do almoço, a divisão dos restos dos pães doados pelo padeiro do outro lado da  rua.3

Falava também de Marx e Weber, e suas aulas acabavam em longas discussões oportunamente regadas à cachaça de R$1,50. Os amigos contam que pouco antes de seu desaparecimento, havia feito uma revelação a todos: retirando de sua sacola uma pasta cinza, teria mostrado papéis com números, desenhos, uns triângulos de ponta-cabeça. Eram esboços de sua autoria – havia esclarecido, e concluíra enfático: “Aqui está a equação matemática, cuja solução será capaz de explicar… tudo nesta vida!”4

Sim, a equação matemática capaz de explicar tudo… Apesar de infinitamente distante da Praça XV, o mundo para o qual olharemos, aquele das relações entre geometria e filosofia na época clássica, parece ter alojado a mesma tensão gnoseológica: aqui, a brincadeira é aquela de achar, na matemática, a explicação “de tudo nesta vida”. Certamente, essa ambição de compreender o mundo descobrindo seus números e as relações entre eles é antiga e não está reservada, exclusivamente, àquele âmbito da cultura que costumamos chamar de ocidental.5 Hoje, nós a pensamos bastante influenciados, ainda, pelo paradigma da ciência moderna, aquela fundada por Galileu, que via a natureza como um livro, encontrando nela um léxico matemático,6 e teorizada por Descartes ao falar de mathesis univesalis, uma ciência geral relativa à ordem e à medida.7

A relação entre matemática e natureza (phýsis) tornou-se particularmente diferente, a partir do momento em que foram publicados, em 1638, os Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.8 Uma das razões principais foi o fato de Galileu romper com a tradição aristotélica que separava o trabalho do físico daquele do geômetra, pois enquanto o primeiro examinava coisas reais, o segundo examinava razões em função de abstrações – os métodos de cada um não podiam ser os mesmos, dentre outras coisas, porque o espaço vazio da geometria seria incompatível com a ideia de lugar natural e de cosmos.9 O “caso Galileu” é, ainda, objeto de muita pesquisa, e alguns trabalhos recentes mostram as conexões complexas entre o que, hoje, chamamos física, astronomia, matemática e ontologia. Ao retomar certos pressupostos platônicos sobre a constituição matemática da matéria, Galileu teria, inclusive, dado margem a acusações de que suas pesquisas sobre o movimento possuíam implicações teológicas que ultrapassavam, sobremaneira, o campo da física.10 Que Galileu tenha herdado de Platão o estilo dialógico ou certos pressupostos metafísicos, como a circularidade do movimento dos astros, é fácil de ser constatado, mas o atomismo e o projeto de uma geometrização da natureza dependem de um esclarecimento que tentaremos fazer, aqui, por meio de um comentário do renomado helenista Gregory Vlastos. Com sua ajuda, faremos esse salto de, aproximadamente, dois mil anos, mergulhando no período que nos interessa nesse momento, a saber, aquele universo em que floresceu Platão.

Vlastos,11 partindo do pressuposto aristotélico de que a teoria da estrutura da matéria de Platão é uma variante da hipótese atômica de Leucipo e Demócrito,12 analisou o modo como Platão adaptou a concepção atomista ao propor que os átomos fossem suscetíveis de dois tipos de alterações: a primeira, relativa à existência de variedades de cada um dos tipos primários de matéria (éter e neblina são, por exemplo, variedades de ar)13; a segunda, relativa à mudança de um tipo de matéria em outro, como no caso dos átomos de fogo, ar e água, devido a eles terem faces idênticas, isto é, triângulos equiláteros. Lembremos que o Demiurgo imprimiu uma forma estereométrica regular à matéria, ao transformá-la de caos em cosmos; fogo, ar, água e terra são constituídos de tetraedros, hexaedros, octaedros, icosaedros, respectivamente.14 Esse atomismo geometrizado será aquele retomado por Galileu, que, defendendo a matematização da natureza como método para a elaboração de uma nova ciência, deu, como observou Alexandre Koyré, “uma prova experimental do platonismo”.15

Desnecessário lembrar que a exclamação no título deste artigo “Quem não é geômetra não entre!” se refere à famosa advertência que se podia ler no portal da Academia de Platão.16 Advertências análogas eram comuns nas entradas de templos e santuários antigos, nos quais, no lugar da geometria, eram requeridas pureza e outras qualidades, funcionando como uma “senha” para iniciados. De maneira análoga, iremos utilizá-la ao longo do ensaio, para indicar-nos o lugar que a matemática e a geometria assumem em um momento de grande importância na definição do pensamento ocidental e da filosofia em seu nascer: aquele da “descoberta” de um “método científico”, entre o V e o IV séculos a.C.17 “Quem não é geômetra não entre!”, portanto. Partiremos, daqui, para compreender a importância do diálogo entre a filosofia, a matemática e a geometria na construção desse método. Partiremos de Platão, lembrando que a palavra matemática vem do verbo mantháno, que significa, aprender, compreender, e esse saber (máthema) pode ser relativo à ideia (suprema) de Bem (República 505a). Hé mathematiké é o que concerne à ciência da matemática;18 as matemáticas são os conhecimentos que se apreendem em um corpo de disciplinas que se constitui de aritmética, geometria em duas dimensões, geometria em três dimensões, a astronomia e a harmonia dos sons (República 525a-531d), e que são fundamentais na formação do filósofo.19

Desse modo, uma sentença como a do frontão da Academia encaixa-se muito bem naquela que devia ser a prática das ciências matemáticas no interior da escola de Platão. Um entre muitos, podemos ficar com o testemunho de Proclo:

Platão (…) deu um imenso impulso a toda a ciência matemática e em particular à geometria, pelo apaixonado estudo que a isso dedicou e que divulgou quer recheando seus escritos de raciocínios matemáticos, quer despertando em toda parte a admiração por estes estudos naqueles que se dedicam à filosofia.20

Sobre o papel que Platão teria exercido como matemático, os estudiosos discordam, tendendo mais a considerá-lo um formador de jovens matemáticos do que um descobridor de novos métodos ou teorias. É o que afirma, por exemplo, Boyer: “Platão é importante na história da matemática principalmente por seu papel como inspirador e guia de outros e talvez a ele se deva a distinção clara que se fez na Grécia Antiga entre aritmética (no sentido de teoria dos números) e logística (a técnica da computação)”.21

A distinção a que se refere Boyer, sem oferecer maiores detalhes, é importante para nos dar a medida da preocupação platônica e mesmo de sua presença, ainda hoje, nos debates sobre a natureza da matemática. No Filebo (56d-e), Sócrates faz distinção entre a aritmética do homem comum e a do filósofo, com base na diferença dos “objetos” a que se dirige cada um: enquanto o primeiro opera com unidades que são distintas (ao contar dois exércitos, sabe-se que eles são diferentes), para o segundo, as unidades são todas indistintas (números são coleções de unidades puras).22 A rigor, a aritmética (como a geometria) do filósofo aplica-se apenas ao mundo do ser.23 Um problema decorrente dessa visão da aritmética e, também, da geometria é o de explicar como essas disciplinas se aplicam ao mundo físico. Uma tentativa será feita no Timeu, no qual temos uma teoria especulativa da construção geométrica do mundo, interligada ao realismo epistemológico e ontológico de Platão.24

Acrescente-se, ainda, que, independentemente das atividades de Platão como matemático, textos como o Mênon e o Teeteto mostram o quanto as questões matemáticas estão presentes na discussão sobre os critérios para a aquisição de conhecimento verdadeiro e sobre impasses gerados devido a problemas internos à geometria e à aritmética. Desde o famoso artigo de F. Cherniss, Plato as a mathematician,25 à recente obra de P. Pritchard, Plato’s philosophy of mathematics,26 tornou-se claro como a relação entre matemática e filosofia é estreita, e um primeiro momento de crise ocorre exatamente aqui, na Academia de Platão. É desse momento que falaremos a seguir de uma crise que é ocasião de “afinar os instrumentos” para a ciência antiga e para a filosofia dos séculos V e IV, de maneira especial. Uma crise que, em seu momento final, levará Aristóteles a sair “batendo a porta” e – numa imagem um pouco naïve e pela qual desde já nos desculpamos – derrubando, teoricamente, a famosa escrita no frontão. No entanto, para podermos compreender essa crise, será preciso recuar, observando como se desenhou a relação entre filosofia e geometria, ao longo de anos de fecunda simbiose, desde aqueles que a mitologia das origens da filosofia designou como ponto inicial, por meio de um “fundador”, Tales de Mileto.

Considerações sobre a relação entre a geometria e a filosofia que nasce

Galeno conta uma anedota que ilustra muito bem qual é a imbricação cultural das ciências matemáticas (e, de maneira especial, da geometria) no mundo grego: Aristipo teria sido jogado durante um naufrágio numa praia desconhecida, e vendo desenhadas na areia algumas figuras geométricas, teria ficado aliviado, pois, naquele momento, sabia não ter caído em terras bárbaras, e sim em terras gregas.27 Encontrava-se, de fato, na costa da Sicília, próximo da cidade de Siracusa. É verdade que Tales de Mileto, segundo o testemunho de Proclo, no Comentário ao primeiro livro dos elementos de Euclides, provavelmente retirado do sumário da mais antiga História da geometria de Eudemo, teria ido ao Egito estudar exatamente a geometria, que aqui nasceu para responder a necessidades práticas: “Foi o primeiro que, tendo ido ao Egito – trouxe de lá esta doutrina e a introduziu na Hélade, e ele próprio fez muitas descobertas e, de muitas, deixou uma ideia aos seus sucessores, abordando alguns problemas de modo mais geral, e outros de modo mais prático” (In Eucl. 65, 3).

Na medida em que o Egito é geralmente considerado o berço da civilização grega, “o reconhecimento da origem egípcia não era outra coisa senão o corolário da certeza de que a geometria era um traço essencial da identidade cultural helênica”.28 Entre outras descobertas de Tales, a tradição informou-nos sobre o famoso teorema, pelo qual o ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto, que parece ter sido o primeiro teorema de geometria demonstrado de forma dedutiva.29 Com Tales, um dos sete sábios já segundo Platão (Protágoras, 343a), a matemática insere-se em um programa maior, que poderíamos chamar de organização racional do conhecimento e do mundo, que passava pela astronomia, pela política e – sobretudo – pela conduta humana, isto é, pela ética. Esse programa não é invalidado mesmo se concordarmos que algumas célebres “proezas” atribuídas a Tales sejam de cunho até anedótico, como a de ter conseguido determinar a distância de um barco a partir da costa (D.L. I, 27) ou a altura de uma pirâmide (PLÍNIO, N.H. 36, 82). Elas são, claramente, anacrônicas, pois pressupõem o uso do conceito de proporção (analogía, lógos), um dos conceitos que nos interessa neste artigo, e que parece ter sido descoberto somente no âmbito pitagórico – posteriormente, portanto.30

De fato, tanto o desenvolvimento teórico da matemática como a aproximação entre ciência (em geral e, especialmente, a geometria) e ética aparecem de forma ainda mais significativa no pitagorismo,31 constituindo-se como o primeiro momento daquele que Boyer chamava de “período heroico da matemática”:

Praticamente não existem documentos matemáticos ou científicos até os dias de Platão no quarto século a.C. No entanto, durante a segunda metade do quinto século circularam relatos persistentes e consistentes sobre um punhado de matemáticos que evidentemente estavam intensamente preocupados com problemas que formaram a base da maior parte dos desenvolvimentos posteriores na geometria.32

É no interior do complexo e multifacetado movimento pitagórico que teriam sido cunhados os termos-chave de nossa discussão: “filosofia” e “matemática” (aquilo que se aprende, como dissemos antes).33 Os termos indicam os interesses fundamentais da escola, articulados no sentido daquele que, para Platão, era o grande objetivo da historía, da pesquisa pitagórica: um trópos tou biou, um estilo de vida, uma ética, uma conduta humana que dizia respeito, ao mesmo tempo, a preocupações religiosas e práticas ascéticas ligadas a uma concepção da imortalidade da alma reencarnacionista e a preocupações políticas. Uma geometria, digamos, aplicada à vida, mas em um sentido diferente daquele técnico ao qual estamos acostumados. É novamente Proclo a nos impedir de pensar nas pesquisas matemáticas dos pitagóricos como em algo simplesmente “funcional”: “Pitágoras fez do estudo da geometria um ensino liberal, subindo aos princípios com a investigação e estudando seus problemas sob um ponto de vista puramente abstrato e teórico. Deste modo foi ele que descobriu o tratamento dos irracionais e a construção da figuras cósmicas”.34

Desde o teorema de Pitágoras até todas as outras “descobertas” geométricas que Proclo, Euclides e outros atribuem aos pitagóricos, como também o fazem autores como Eudemo e Aristóxeno com relação ao desenvolvimento por estes da teoria musical (relações harmônicas de quarta, quinta e oitava)35 e ao campo da astronomia,36 a filosofia pitagórica tem uma intenção e uma acepção claramente teóricas, mesmo fazendo parte de um quadro geral filosófico e ideológico, em que as diversas disciplinas e interesses se compunham. Boyer, também, realça essa característica: “No mundo grego a matemática era aparentada mais de perto à filosofia do que a negócios práticos, e este parentesco permaneceu até hoje” (1974, p. 48). Ao que parece, a aritmética torna-se disciplina intelectual antes do que cálculo técnico (logística), já com os pitagóricos, o que é atestado por Aristóteles ao afirmar que aqueles “foram os primeiros a se dedicar às matemáticas e a fazê-las progredir” (Met. 985b24). Mas, ao mesmo tempo, diz Aristóteles, dedicaram-se à natureza (phýsis), no sentido do trabalho filosófico pré-socrático de determinar quais seriam os princípios (archai) ontológicos e epistemológicos da realidade. Dessa forma, “nutrindo-se das matemáticas, pensaram que os princípios delas fossem princípios de todos os seres”, concluindo, assim, que “o universo inteiro é harmonia e número” (Met. A 5, 985b25-26).

Vai além dos limites deste ensaio uma análise, ainda que breve, da contribuição pitagórica à história da matemática e da geometria, ou melhor, da aritmogeometria – célebre expressão de Abel Rey –, como se costuma chamar esse conjunto ainda indistinto de teoremas e teorias que a tradição nos transmite dos estudos do movimento pitagórico.37Concedemos à paciência historiográfica somente mais duas obervações. Primeiro, que seria melhor falar não de uma aritmogeometria, e, portanto, de uma correspondência entre números e figuras geométricas, mas de uma correspondência mais generalizada (cosmológica) entre número e todas as entidades constitutivas da realidade. Se é verdade que o número um é o ponto, o dois é a linha, o três é o plano, é também verdade que Eurito pensava poder indicar os números do cavalo e do homem, e Filolau o número que correspondia à memória, ao éros, a certas divindades.38 Segundo, que é oportuno lembrar uma outra vertente matemático-filosófica pré-platônica não pitagórica, na qual poderiam estar autores eleatas, como Zenão, e outros, como Anaxágoras e Demócrito. No entanto, a economia destas páginas não nos permite um tratamento adequado do tema.39Estamos interessados, no momento, em mostrar que o conhecimento sobre o princípio (arkhé) da filosofia pitagórica, o arithmos, o número indivisível, inteiro, que é a base da geometria e da filosofia pitagóricas (Met., 985b, 990a, 1078b, 1092b), entra em crise, na metade do século V. É, novamente, Boyer a introduzir muito bem os termos da questão:

Os diálogos de Platão mostram que (…) a comunidade matemática grega fora assombrada por uma descoberta que praticamente demolia a base da fé pitagórica nos inteiros. Tratava-se da descoberta que na própria geometria os inteiros e suas razões eram insuficientes para descrever mesmo simples propriedades básicas.40

Trata-se, provavelmente, de uma crise que acontece no âmbito pitagórico: Hipaso seria seu autor, pela descoberta das grandezas incomensuráveis (asýmmetronou sýmmetroi; álogos).41 A anedótica da história da filosofia conta-nos que, por esse motivo, teria sido expulso da escola pitagórica.42 A “ciência normal” de kuhniana memória já fazia aqui, provavelmente, sua primeira vítima. É uma crise grave nos fundamentos do conhecimento matemático, e não somente uma questão periférica, uma aporia secundária da geometria. O incomensurável irrompe no céu puro e imaculado das figuras e dos números racionais e de seus axiomas e princípios evidentes, dos quais procede a rigorosa cadeia de conseqüências necessárias. A crise atinge os próprios alicerces epistemológicos, tanto da matemática como da geometria.

Como já foi observado, frente aos problemas com a incomensurabilidade, muitas demonstrações perderam seu poder de convencimento, sendo reduzidas a raciocínios plausíveis. Como números significam, na época, “números racionais”, originou-se o que é chamado hoje “álgebra geométrica dos gregos”, por exemplo, “o retângulo de lado a e b” era usado em vez de “a vezes b“. Coube a Eudoxo (século IV a.C.) a tarefa de fornecer fundamento sólido para a matemática.43 Semelhante reação crítica e busca de rigor só ocorreriam, novamente, no século XIX, aparecendo, aliás, em um nível de maturidade filosófica semelhante ao de Eudoxo, que, com sua teoria das proporções, formulou uma primeira abordagem satisfatória dos números irracionais. Lembremos como Dedekind, para fundamentar a Análise (que é um desdobramento do cálculo diferencial e integral), seguiu métodos semelhantes aos de Eudoxo. Outras crises, entretanto, surgiram ligadas, principalmente, à Teoria dos Conjuntos, de Cantor, cujos pressupostos metafísicos (dentre eles, a existência de infinitos atuais) levaram, em certos contextos, a intrincados paradoxos. Um depoimento eloquente sobre a situação e suas implicações na própria possibilidade do conhecimento humano é dado por Hilbert:

O objetivo de minha teoria é estabelecer de uma vez por todas a certeza dos métodos matemáticos. Essa é uma tarefa que não foi realizada mesmo durante o período crítico do cálculo infinitesimal (…) Nós agora chegamos à mais estética e delicada estrutura da matemática, isto é, a análise (…) em certo sentido a análise matemática é a sinfonia do infinito (…) O estado atual das coisas, em que nos chocamos com os paradoxos é intolerável. Apenas considerem as definições, os métodos dedutivos que cada um aprende, ensina e usa em matemática, o modelo da certeza e da verdade conduzindo a absurdos. Se o pensamento matemático é defeituoso, onde encontraremos verdade e certeza?44

Nessa afirmação de um dos maiores matemáticos dos séculos XIX e XX, constatamos o eco das propostas tanto platônica como cartesiana do que compreendemos como mathesis universalis. Resultados de Gödel mostraram que o sucesso do programa de Hilbert é muito improvável, se não impossível. O debate, ao menos no terreno filosófico, continua. Temos, deve-se destacar, os que mostram como é possível aceitar a existência de contradição dentro de um sistema de pensamento, sem trivializá-lo ou torná-lo irracional, como na lógica paraconsistente – o que não deixa de refletir, ainda, a intenção de uma forma lógica, a coexistência da racionalidade com a contradição.45Temos, ainda, o apelo para que a filosofia reavalie a “aversão contumaz à irracionalidade” existente no mundo científico e em si própria.46 Tais considerações sobre o período contemporâneo permitem-nos ver, ainda que superficialmente, o impacto das questões filosóficas relacionadas à lógica e à matemática, em um projeto de salvar a racionalidade e um critério seguro de conhecimento. Tendo isso em mente, voltemos ao ambiente grego e, por analogia, compreendamos o impacto de certos problemas no projeto pitagórico-platônico de alicerçar uma epistemologia e uma ontologia em bases matemáticas.

Crise nas matemáticas

Os testemunhos de Arquitas,47 Platão48 e Aristóteles49 parecem concordar sobre o fato de que a preocupação fundamental, e a matriz da pesquisa dos pitagóricos, é a música, no sentido da investigação da natureza do som e dos princípios que subjazem à produção dos acordes.50 A vida de Pitágoras, de Jâmblico, está repleta de referências a esse interesse de Pitágoras. Deve ter sido exatamente essa experimentação musical a sugerir aos pitagóricos que são as relações (lógoi) numéricas simples que determinam a harmonia dos acordes. A passagem da harmonia musical à geometria é quase obrigatória: serão as mesmas relações a reger as proporções das figuras geométricas. Da mesma forma que os acordes musicais podem ser reproduzidos em instrumentos e escalas diferentes, obtendo-se a mesma harmonia e agradando ao ouvido, assim, as formas dos corpos geométricos que obedecem a relações numéricas simples geram um efeito harmônico semelhante na vista e podem ser reproduzidas.51 Por isso, provavelmente, o grande interesse de Pitágoras pelos triângulos, especialmente aqueles casos particulares de triângulos retângulos cujos lados mediam 3, 4 e 5: é, aqui, que nasceria a primeira formulação de lógos, de razão, de proporção: todos os triângulos (de qualquer tamanho) que tivessem a relação (o lógos) 3-4-5 seriam iguais.

É necessária, aqui, uma observação terminológica com relação à utilização do termo lógos, no sentido de proporção, de razão geométrica. O termo é utilizado na expressão tôn autôn lógon ékhein, isto é, “ter a mesma proporção”. Como bem sabemos, lógos significa, fundamentalmente, palavra, mas uma palavra diferente do épos, que se quer representado na fala, a realidade. O lógos é a palavra (ou um conjunto discursivo de palavras) penetrante, que aponta para a tentativa de expressão da natureza da coisa. Nesse sentido, conhecer o lógos, a proporção do triângulo 3-4-5, é compreender sua razão, seu sentido mais profundo.52 Mas, com a descoberta das proporções, ocorreu a descoberta da incomensurabilidade: se a simples relação entre a diagonal e o lado de um quadrado não pode ser expressa por um conjunto de números inteiros, então, o número inteiro e indivisível não pode ser considerado como o arkhé da realidade (Met., 983a15).

A crise é, portanto, uma crise que se instaura entre os números (que, até Aristóteles, são considerados monadikói, inteiros, indivisíveis, não sendo possível pensá-los diferentemente) e os lógoi, as proporções. O ponto de partida não discutido é a proposição pitagórica de que “a mônada é indivisível”, o que de fato corresponde a um Axioma de Peano: “1 não é sucessor de nenhum número”. Isso significa que o número 1 não tem predecessor e, portanto, é a arkhé absoluta, é o início de tudo.53 Não há, também, número menor do que 1, e, portanto, 1 é indivisível.54 A aritmética pitagórica assume a contradição conscientemente e encontra – aparentemente – uma solução: aquela de separar números (aríthmoi) de lógoi, afirmando estes últimos não serem números, e, sim, pares ordenados de números, díades (dyás) finitas. Apesar de Aristóteles se distinguir dos pitagóricos, na medida em que estes insistiam que as unidades têm extensão espacial, confundindo a unidade aritmética e o ponto geométrico (Met. 1080b16-20),55 é de Aristóteles a melhor definição do que foi a solução pitagórica: “Os lógoi não são definidos como números, e sim como relações numéricas e afecções do número” (Met. 1021a 8-9). Poderíamos dizer que “a matemática científica e com ela a filosofia recorreram ao ostracismo”.56Entre outras palavras, aquelas de Imre Toth:

Os pitagóricos perceberam a intolerabilidade desta contradição lógica entre as duas proporções axiomáticas e (…) Platão compartilhava plenamente essa opinião. O monstro lógico do folclore matemático, o número fracionário, foi expulso da teoria superior dos números. Entretanto o povo vivia feliz nessa desprezível promiscuidade lógica, e, sem preocupar-se com nada, continuava a fazer cálculos com números fracionários: pela simples razão de que, com toda maravilha, a presumida intolerável contradição lógica não levava a nenhum erro no curso dos cálculos, enquanto as teorias dos savants, logicamente imaculadas, só podiam tornar insuportavelmente difíceis esses cálculos. De sua parte o povo achava as aflições lógicas de consciência dos pitagóricos – com as quais tornavam deliberadamente difícil a vida – não só inúteis, mas, sobretudo, extremamente “ridículas”.57

Como demonstra a comédia aristofânica, satirizando posições filosóficas, o povo continuava a usar proporções e frações para calcular o preço do pão e outras trivialidades (Aves, versos 903-1020; Nuvens, versos 607-620). No entanto, não é só o povo, pois os próprios matemáticos, em determinados momentos de crise, ignoram os problemas ligados aos fundamentos. Por meio da seguinte afirmação, feita pelo genial Paul Cohen, comentando o comportamento dos matemáticos, em função da “crise dos fundamentos” na virada do século, podemos constatar que as questões radicais de teor metafísico sobre a natureza da matemática e sua relação com o conhecimento humano não parecem extrapolar, seja na Antiguidade, seja hoje, o espaço da “Academia”, e mesmo dentro dela encontram uma solução que consiga passar entre Cila e Caríbdis:

A posição realista [isto é, platonista] é a que a maior parte dos matemáticos gostariam de adotar. Somente quando se torna consciente de algumas das dificuldades da teoria dos conjuntos é que o matemático começa a questioná-la. Se estas dificuldades o inquietam particularmente, ele correrá para o abrigo do formalismo [grosso modo, este afirma que a matemática é uma combinação de símbolos sem sentido e que, portanto, seus enunciados não podem ser verdadeiros ou falsos, pois não se referem a coisa alguma no mundo] enquanto que sua posição normal será em algum ponto entre as duas, tentando desfrutar o melhor dos dois mundos.58

Retornando ao contexto da matemáticas na Grécia, observemos que se a crise aritmética é gerada e, de alguma forma, “resolvida” no interior do movimento pitagórico, a crise da geometria, que é uma crise de sua fundamentação axiomática, parece ser toda acadêmica, isto é, interior à escola de Platão. Ao que sabemos, pelo próprio Aristóteles, o tema da fundamentação axiomática da geometria era discutido com vivacidade na Academia.59 O que os acadêmicos percebem é que muitas das proposições fundamentais da geometria são utilizadas como se fossem teoremas demonstrados, sem, todavia, terem sido demonstrados. A essa situação é aplicada uma metodologia de demonstração, já utilizada em muitas outras questões filosóficas: a via da negação, da contradição, já apontada no Parmênides (136a) da seguinte forma: “Não deves considerar as conseqüências que emergem da hipótese de que cada coisa exista, mas deves também supor que essa mesma coisa não exista”. Assim, os filósofos-geômetras da Academia exploram o campo dos axiomas e de suas conseqüências, para tentar provar a verdade deles. No entanto, eles tropeçam, com o método negativo, exatamente, naquilo que não queriam encontrar, que queriam refutar: uma geometria oposta, “onde as paralelas se encontram, as diagonais são comensuráveis e as retas curvas”.60 Claramente, Platão oporá um “outro método” (álle méthodos), para alcançar aquilo que cada coisa “é” (hò estín), e tal método está além daquele da geometria e áreas que decorrem dela, as quais, quanto à apreensão do “ser” (tò ón), têm apenas “sonhos” (República 533b8), pois não conseguem chegar a alguma demonstração de que sejam verdadeiras as hipóteses de que partem – nas demonstrações geométricas, pode-se ter uma cadeia coerente de conseqüências a partir de uma premissa falsa (Crátilo 436c-438d).

Resposta de Platão

A essas crises Platão, e depois Aristóteles, antes de Euclides, respondem como filósofos. Eles vislumbram, na explicação metafísica, a possibilidade de resolver o irracional e o incomensurável, fundamentando, para além da matemática e da geometria, seus postulados. Partamos de um conhecimento geral da estrutura da epistemologia e ontologia platônicas – tanto do “raciocínio a partir das ciências” (lógos ek tôn epistemôn), pelo qual toda ciência tem como seu objeto um objeto único e idêntico, como a própria Teoria da Ideias. Segundo esta última, o objeto do conhecimento verdadeiro, da ciência, não pode ser particular, sensível (todos os quadrados que existem, todos os sons que existem), pois, dessa forma, seria um objeto móvel (pois a realidade é móvel). Portanto, objeto da ciência poderão ser somente outras realidades, isto é, as idéias desses mesmos objetos, pois elas sim são imutáveis.61“Pois das coisas que são sujeitas a perene fluxo não há ciência” – dirá, também, ainda que em outro contexto, Aristóteles (Met. 1078 b 17). Com relação à geometria, no fr. 3 do De ideis, diz: “Se a geometria não é ciência deste determinado igual e desse determinado comensurável, mas do que é simplesmente igual e do que é simplesmente comensurável, então haverá o igual em si e o comensurável em si: e estas são as Ideias”.62

As ciências matemáticas, portanto, têm como objeto realidades imóveis, idênticas a si mesmas, não sensíveis. Surge, naturalmente, uma pergunta, a essa altura: Isso significa que esses objetos da matemática são Ideias? Isto é, pertenceriam ao mundo inteligível? Platão responde que não. E responde num dos lugares centrais de seu pensamento, que é o Livro VI da República. A resposta constrói-se com uma famosa metáfora, a “metáfora da linha”: Sócrates, para explicar para Glauco a distinção entre mundo sensível e mundo inteligível, convida-o a “dividir uma linha (grammèn) em duas partes desiguais (ánisos)” – trabalho de geômetra, portanto – e a dividi-la novamente em duas, “segundo a mesma proporção (tòn autòn lógon)”.63 A linha é uma linha plasticamente epistemológica, que distingue, tanto na parte do inteligível (nooménou) como na parte do visível (oroménou), “imagens” e “modelos destas imagens” a serem apreendidos. Frente à dificuldade de compreensão que Glauco expressa (oukh hikanôs émathon), Sócrates desenvolve uma das páginas mais lúcidas de Platão sobre a epistemologia da matemática de seu tempo:

Suponho que sabes que aqueles que se ocupam da geometria (geometrias), da aritmética (logismoùs) e de coisas deste tipo (pragmateuómenoi) supõem (hypotémenoi) o par e o ímpar, as figuras, três espécies (eíde) de ângulos, e outras irmãs destas, segundo o método (méthodon) de cada uma. Essas coisas dão-nas por sabidas (eidótes) e fazendo-as como hipóteses (hypothéseis), nenhuma palavra (lógon), nem a si nem aos outros consideram mais necessário prestar conta, como se fossem evidentes (phanerôn) a todos; e partindo destas e passando ao que resta, caminhando coerentemente atingem ao que tinham se proposto a alcançar (República 510 c2-d2).64

Da mesma forma, os geômetras:

Servem-se de figuras visíveis (oroménois eidesi) e fazem raciocínios (lógous) sobre elas, pensando (dianooúmenoi) não nelas, mas naquilo com que se parecem (éoike), raciocinam com respeito ao quadrado mesmo e à diagonal mesma, mas não ao quadrado, à diagonal, ou aquela que desenham, e semelhantemente quanto às outra figuras. Estas mesmas que estão fazendo ou desenhando, das quais há sombras e imagens na água, eles usam agora como imagens, buscando ver aquilo mesmo que alguém não pode ver exceto pelo pensamento (diánoia) (República 510d4-511a1).

Glauco, finalmente, compreende. Sócrates está se referindo “à geometria e às artes (tékhnai) afins a ela” (511b 3-8), não à dialética das ideias, ciência suprema. De fato, Sócrates confirma a distinção entre a parte superior da linha (a potência heurística da filosofia) e aquela das ciências matemáticas:

Aprende então o que quero dizer com a outra parte do inteligível, aquela que o raciocínio mesmo atinge com o poder da dialética (dialégesthai), fazendo das hipóteses não princípios, mas hipóteses mesmo – um tipo de acesso, de apoio, para chegar ao não hipotético (anupothétou), ao que é princípio de tudo. Alcançado isso, retorna, atendo-se a cada resultado, de tal modo que desça até a conclusão, sem fazer uso de nada visível, movendo-se das ideias (eídesin) umas às outras, terminando na ideia (eide) (República 511 b3– c1).

Assim, a matemática, no interior da metáfora da linha, é ciência, e uma ciência que está na linha na metade do caminho (metaxú) entre o mundo sensível (pístis, crença e eikasía, conjetura) e o mundo inteligível. Mas, a bem ver, é ciência apenas analogamente à ciência mesma, à dialética (dialetikè méthodos), aquela que diz respeito às ideias, destruindo as hipóteses e arrastando, aos poucos, os olhos da alma do lodo bárbaro (borbóro barbarikó)65em que ela se encontra. Tanto que Platão faz Sócrates afirmar que, relativamente à matemática e à geometria: “Sobretudo por costume (éthos) as chamamos com frequência de ciências, (epistéme), mas é necessária outra denominação, mais clara que opinião e mais obscura que ciência: nesse sentido antes a definimos como entendimento (diánoia)” (República 533 d1). Algo que seja “metade do caminho entre opinião e intelecto” (hós metaxú tes doxés te kaì nou tén diánoian) (República 511d). Diánoia, ou seja, conhecimento mediado.

Especialmente na geometria, Platão entrevê uma profunda ambiguidade ou, melhor, duplicidade, que é, ao mesmo tempo, seu ponto de força: sua irresistível aproximação ao sensível, sua contaminação com as imagens reais, permite-lhe ser ponte entre o inteligível e o sensível. Assim, a matemática torna-se, epistemologicamente, uma “terra de meio” lugar mediano, necessário de ser atravessado no caminho das Idéias, das verdades não hipotéticas. Ecoa, aqui, o frontão da Academia “Quem não é geômetra não entre!”. A geometria é a porta, a conexão, entre os dois mundos.

Conexão que se expressa na metodologia do caminho desenhado pela linha: das hipóteses até os princípios primeiros, e vice-versa. Em um caminho ascendente e descendente, que é típico da epistemologia platônica (no Banquete, a erótica é esse caminho de mão dupla, embora seja, muitas vezes, muito mal-interpretada, sendo apenas lida na visão de uma ascese, de uma ascensão em direção à alma, um abandono do corpo). No caso da ciência matemática, ela é o caminho, não a meta, pois seus pressupostos não são demonstrados, e, sim, remetem para um caminho ulterior, até sua fundamentação na plenitude das idéias. É nesse sentido que a matemática procede analogicamente: síntese dos dois mundos, as verdades matemáticas e geométricas são capazes de representar todo o ser, mas apenas em chave analógica. Pois é no ser inteligível que elas encontram, ainda, seu fundamento último.

Conclusão

Consideramos pertinente fazer duas observações finais. A primeira diz respeito a como Aristóteles compreende a solução de Platão. Não podemos nos dedicar à solução aristotélica da mesma crise por óbvios motivos de economia do texto. A reclamação dele, na Metafísica (992a33-b1), dirigida contra “os filósofos de agora, para os quais as matemáticas tornaram-se filosofia”, refere-se, claramente, a Platão e à Academia. O erro de Platão seria aquele de ter considerado a matemática como parte integrante e indistinta da metodologia da ontologia: a crítica de Aristóteles é dirigida à “linha” e sua continuidade, portanto. Para Aristóteles, é inconcebível que o objeto da matemática seja algo “fora do sensível”: a metafisicização da matemática é o seu problema. O objeto de matemática (figura e número) está dentro da realidade, não fora dela, aproximando, sob certos aspectos, sua posição àquela dos pitagóricos.66

Uma segunda e última observação diz respeito à expressão “platonismo”, utilizada na filosofia contemporânea da matemática para indicar, grosso modo, a crença de que objetos matemáticos existem independentemente de nós e que, com eles, não temos nenhuma interação causal; podemos descobri-los, mas não criá-los. Um importante registro do termo aparece em uma conferência de Paul Bernays, de 1934.67 Ao tratar da axiomatização da geometria por Hilbert, comparando-a à de Euclides, Bernays destaca que, enquanto o segundo fala da “construção” de figuras, o primeiro assume a existência delas, mostrando “uma tendência de ver os objetos como desvinculados de qualquer ligação com o sujeito pensante”, à qual Bernays chama de platonismo.68 Embora o termo tenha surgido aqui, a tendência era mais antiga, como vemos pelo que dizia Russell num ensaio de juventude (1901, na revista Mind): “A aritmética deve ser descoberta exatamente no mesmo sentido em que Colombo descobriu os índios do Oeste, e nós não criamos os números, como ele não criou os índios…”.69Nossa observação diz respeito ao fato de Platão ser não “platonista”, nesse sentido acima descrito. Acreditamos que o platonismo descreva, somente de forma limitada, a “filosofia da matemática” de Platão, que tem objetivos e ambições bem maiores: aqueles de fundamentar a matemática no interior de um caminho epistemológico que permita a esta chegar ao princípio de toda a realidade. Ambições epistemológicas, portanto, mais do que simples afirmações ontológicas. A matemática e a geometria são portas e, como tais, abrem-se e fecham sobre a verdade e seus possíveis caminhos dialéticos.

Autores: Gabriele Cornelli e Maria Cecília de Miranda N. Coelho

Fonte: Kriterion – Revista de Filosofia

O Quadrado Duplo

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No templo de Salomão, é o Hekal ou Sanctum que representava um quadrado duplo, ou seja, um retângulo de proporção um por dois. O Hekal era o lugar da adoração ou seja, o lugar do encontro, da comunhão do homem com Deus. E, de fato, o um, a figura de Deus se mistura ali com o cinco, a figura do homem através da mediação da proporção áurea.

Assim, vamos traçar dois quadrados superpostos para obter o quadrado duplo: eles são, ambos, Beta ou Beth, que significa casa, templo ou matriz no sistema simbólico dos alfabetos da Antiguidade. Agora vamos traçar o círculo central com diâmetro correspondente ao lado comum aos dois quadrados: Deus, o um, é o ponto totalmente central e círculo ao mesmo tempo. Deus em seu templo é assim ilustrado pelo círculo centrado no quadrado duplo.

Vamos, em seguida, apontar o ponto fixo do compasso para a parte inferior da diagonal deste quadrado duplo, cujo comprimento é √5 , e vamos traçar o maior dos dois arcos tangentes de círculo ao círculo central. É fácil desmontar que este arco corta os lados laterais do quadrado duplo, respectivamente, em φ   e √φ  ;  φ sendo a letra grega que indica a seção áurea em homenagem aos escultor grego Fídias que decorou o Partenon em Atenas.

LONG SQUARE 1b multiplica-se por si mesmo quando se adiciona um a ela e é revertido quando um é subtraído dela. É o número de harmonia e é encontrado nas taxas de crescimento dos seres vivos, na organização dos ramos em torno de um tronco, na distribuição das folhas em um galho. O encontro de um e cinco, assim, dá à luz a harmonia no templo.

LONG SQUARE 1

E, de fato, tomando a figura anterior como plano ideal do nossa loja, não é harmonioso considerar que a distância φ contada a partir da porta do templo delimita o primeiro degrau do Oriente, onde se coloca o o Venerável Mestre, o Secretário e o Orador e considerar que o espaço compreendido entre  φ e √φ   é onde está o altar dos juramentos, o Hospitaleiro, o Experto, o Tesoureiro e o Mestre de Cerimônias?

Mas o quadrado duplo também é encontrado nas catedrais que os irmãos maçons deram aos seus companheiros eclesiásticos. Cânones das grandes liturgias matemáticas, eles souberam traduzir na pedra as regras mais puras.

Evocar-se-á aqui as três mesas místicas que estão associados à personagem coroada da catedral e registro da trindade no piso. Diz-se que todos os três de uma mesma superfície carregavam o Santo Graal:

LONG SQUARE 2

A mesa redonda representa o Pai. Ela está localizada na nave e, por vezes, materializada pelo labirinto, como em Chartres ou Amiens. Ela é a parte visível para o leigo.

A mesa quadrada representa o filho. Ela está localizada no centro da cruz formada pelo coro, a nave e o transepto. Ela marca a separação entre o leigo e coroado.

A mesa retangular, um quadrado duplo representa o Espírito Santo. Ela está situada no coro que é o espaço reservado ao bispo, aos padres e ao clero. Este é o espaço sagrado por excelência e não foi por acaso que os mestres maçons se inspiraram na escolha do quadrado duplo para seu partido arquitetônico.

LONG SQUARE 4

Nós já o evocamos: o círculo, a unidade, representa Deus ou o Grande Arquiteto e o quadrado representa o princípio da encarnação plena e bem sucedida, o conhecimento secreto da matéria. Em seguida, vem o templo, ou seja, o quadrado duplo que por sobreposição com as duas outras mesas devem nos permitir resolver a quadratura do círculo*, expressando, assim, a harmonia e ascensão para o conhecimento. De fato, através do pentagrama, o homem se enquadra em quadratura e participa na proporção áurea da qual ele recebe todas as correntes benéficas.

Tradução José Filardo

Fonte: REVISTA BIBLIOT3CA

Nota do blog

Para aqueles que desejam ler mais sobre a quadratura do círculo seguem abaixo dois links de artigos que abordam o assunto.

O Esquadro e o Compasso: A Quadratura do Círculo

A Filosofia Oculta de Agripa

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