O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo V (1ª parte)

Clase Arq.GóTica By Mao

5. Ferramentas e instrumentos nos séculos XII e XIII

A partir da segunda metade do século XII, produz-se uma mudança muito significativa no aspecto das construções. Esta mudança responde a modificações de conceitos religiosos e litúrgicos, refletindo-se em nova definição dos espaços internos das igrejas.

Este novo estilo aparece e desenvolve-se com a melhoria das condições materiais nas cidades. Enquanto o estilo românico tinha um caráter rural, aparecendo sempre em igrejas próximas aos monastérios, o gótico é, desde sua origem, um fenômeno urbano que surge pela vontade de comunidades mais complexas e desenvolvidas.

A catedral gótica, máxima expressão da construção da época, é uma necessidade não só religiosa, como social – ponto de reuniões e demonstração de pujança econômica e espiritual da comunidade.

Construir é, então, o principal e quase único trabalho coletivo da época. A única “ferramenta técnica” é uma geometria muito simples e é com ela que procuram resolver os problemas que aparecem com o aumento da altura das naves e da complexidade das coberturas.

O talhe das pedras tem grande precisão, embora sua forma não seja uniforme em virtude da necessidade de se economizar e racionalizar o seu uso. Apenas no Renascimento é que as pedras dos arcos terão tamanhos iguais: no período medieval o uso pelo gótico de arcos ogivais de mesmo raio e diferentes alturas, permitirá a economia e a agilização da produção das peças. Os sistemas de medidas não são comuns às várias cidades e “loggias” das obras, não há papel e as ferramentas são caras e de baixa qualidade.

Apesar disso, recebiam no canteiro todas as milhares de peças, para as quais criou-se um sistema de marcação, transporte, armazenagem e colocação, sem que fossem possíveis muito retoques ou erros em virtude da natureza do material que era a pedra.

Isto remete-nos à suposição de um alto grau de profissionalismo entre os participantes do processo, o que na verdade era conseguido com longos períodos de aprendizado com os mestres de ofício.

A construção das catedrais era mencionada com vários detalhes em muitas crônicas, como a do monge Gervase, sobre a reconstrução da catedral de Canterbury, após o incêndio de 1174. (COWAN,op.cit.,1977).

Poucas contém desenhos sobre a obtenção e beneficiamento de materiais ou seu assentamento. Nenhuma, porém, dá qualquer indicação sobre o método de projeto que era objeto do “segredo” dos mestres pedreiros. Nós sabemos menos sobre os projetos das catedrais medievais do que sobre a arquitetura romana ou renascentista.

Algumas razões para este fato podem ser o baixo nível de alfabetização que, no século XII, ficava restrita aos religiosos e a transmissão oral dos conhecimentos profissionais.

Mesmo os manuscritos mais recentes (século XV) dos mestres pedreiros – caderno de desenhos anônimo encontrado na Biblioteca Nacional de Viena em 1450; geometria de Heutsch escrita provavelmente em 1472; geometria de Schmuttermeyer escrita provavelmente em 1486; o livro sobre a Verticalidade dos Pináculos de Roriczer de 1486 – explicam somente procedimentos de montagem (como tirar a elevação do plano), mas não de projeto, que ficava restrito aos “traçados reguladores” ou a escolha da “Grande Unidade” pelo arquiteto, conforme as pesquisas de Kossman (FRANKL,op.cit.,1945).

Outra provável razão para a ausência de registros sobre o projeto pode ser que após as opções do arquiteto, as principais orientações seguiam um conjunto de parâmetros definidos “a priori” pelo mestre, que às vezes socorria-se de um modelo, maquete ou desenho de épura em v.g. (verdadeira grandeza).

Os desenhos não são objeto de preocupação quanto à conservação: são destruídos ou seu suporte (raro ou caro) reutilizado. Apesar disto, alguns textos mostram a importância do desenho e aspectos de sua utilização, garantindo a propriedade ao seu autor. Um exemplo é o trecho de contrato entre o rei da Inglaterra no final do século XIV e dois mestres pedreiros:

“(…) de acordo com o sentido do projeto e dos gabaritos feitos sob recomendação do mestre Henry Yevely e entregue para os ditos pedreiros por Watkins Walton seu encarregado.”

O importante era o fazer dirigido por quem tinha o encargo de conceber ou a um sucessor a quem fosse permitido conhecer o projeto original (naturalmente, através de desenhos).

Através do estudo dos conjuntos de instrumentos e ferramentas poderemos conhecer um pouco mais sobre os procedimentos do trabalho – geometria do projeto e do canteiro – no Renascimento Medieval, que é como ficaram conhecidos os séculos XII e XIII.

Estes conhecimentos geométricos eram utilizados nas diversas instâncias – pelo uso de instrumentos e ferramentas – no projeto ou na obra, no beneficiamento do material (pedra), em sua extração e colocação no canteiro e até o seu posicionamento na edificação.

5.1. O Renascimento Medieval: a construção e o conhecimento

A civilização na chamada Baixa Idade Média (ou Idade Média Central – VINCENT,op.cit.,1995), começa a apresentar grandes diferenças do período anterior (Alta Idade Média), notadamente nos âmbitos religioso e intelectual.

Os sentimentos mudam para um crescente interesse pelas coisas terrenas em contraposição ao pessimismo com o destino e a vida do homem nos séculos anteriores. Algumas causas apontadas para estas mudanças devem-se a progressos na educação monástica e disseminação de escolas episcopais, a um governo mais estável e a uma economia mais sólida em função da retomada do comércio nas rotas terrestres e marítimas (Mediterrâneo,Mar do Norte,Mancha e Báltico).

A influência das civilizações islâmica (presente na Península Ibérica até 1492 – século XV) e bizantina (herdeiros do Império Romano que desapareceram apenas em 1453 -século XV – com a tomada de Constantinopla pelos turcos) e ainda o renascimento, fundação e prosperidade de vilas e cidades, levam a realizações materiais e intelectuais nos séculos XII e XIII, que justificam a denominação de “Renascimento Medieval”.

Apresentamos a seguir, de maneira resumida, as principais realizações destes dois séculos. Importante ressaltar-se ainda que todas as Cruzadas, da Segunda (1147-1149) até a Oitava (1270 – morte de São Luiz em Tunis) ocorreram dentro do período em questão.

Século XII
1109 – Abadia de Cluny;
1120 – Tradução de “Os Elementos” de Euclides do árabe para o latim por Adelard de Bath;
1126 – Escola de Tradutores de Toledo;
1132 – Abadia de Vézelay (Borgonha);
1141 – Tradução do Corão para o latim por Pierre, o Venerável, Abade de Cluny;
1144 – Reconstrução da Abadia de Saint-Denis pelo Abade Suger – nascimento do gótico;
1160 – Catedral de Laon[1];
1163 – Catedral de Notre Dame de Paris;
1175 – Catedral de Canterbury;
1194 – Catedral de Chartres[1].
Século XIII
1211 – Catedral de Reims[1];
1214 – Privilégios à Universidade de Oxford;
1215 – Fundação oficial da Universidade de Paris;
1220 – Catedral de Amiens;
1226 – Santa Inquisição;
1245 – Abadia de Westminster;
1248 – Catedral de Cologne;
1250 – Catedral de Strasbourg;
1265 – Summa Teológica de São Tomás de Aquino.

De quais materiais, utensílios, instrumentos e organização dispunham os construtores para possibilitar nos séculos XII e XIII o desenvolvimento de um novo estilo arquitetônico como o gótico? É necessário imaginar os conhecimentos teóricos e práticos ao alcance do criador – que aqui chamamos de “Arquiteto” – e de seu auxiliar, o “parlier”

Este é quem transmite as tarefas do projeto aos executantes, verifica a conformidade dos detalhes previstos, dá indicações aos talhadores de pedra e carpinteiros, explica os traçados ou os reproduz em escala, conforme os desenhos do arquiteto.

Na sala de traços, recobrindo o chão de gesso ou nas argamassas das paredes, o arquiteto desenha suas épuras em verdadeira grandeza (tamanho natural) com seus equipamentos.

Os executantes são geralmente capazes e zelosos, porém iletrados.

Contrariamente à ideia romântica de que todo o povo participava, a construção das catedrais era feita por profissionais pouco numerosos. Algumas dezenas de permanentes e até algumas centenas em período de pico. O máximo número de trabalhadores conhecidos é de 700 trabalhadores na Abadia de Westminster, por desejo do rei.

O arquiteto precisa se preocupar com os materiais colocados no obra, sua origem, seu custo e demais características técnicas: isso vai refletir a organização e os equipamentos existentes no canteiro.

É preciso sempre evocar as condições técnicas em que aqueles construtores se encontravam: as novas possibilidades que surgiram, mas também as dificuldades e obstáculos que enfrentavam em todos os níveis, desde o aprovisionamento e transporte, nos diferentes estágios da concepção, lançamento do projeto, execução e comunicações das disposições prévias.

A este propósito, o trabalho do arquiteto orientava-se para simplificar (selecionar poucos padrões) e facilitar a comunicação do projetado aos executantes sempre que isso fosse possível (BECHMANN,op.cit.,1993).

Após a escolha dos padrões, o carpinteiro fabrica os gabaritos para serem entregues ao mestre talhador que os utiliza em função dos blocos de pedra retirados da pedreira.

Assim, notamos um aparente conflito com um parágrafo de Walter Gropius:

“…cada artesão, participante da obra, podia não apenas executar, mas também projetar a parte que lhe cabia, desde que se subordinasse à clave de proporções geométricas de seu mestre: esta servia às guildas de construção – tal como a clave musical serve ao compositor – com recursos geométricos. Quase nunca existiam projetos no papel; o grupo de trabalho vivia junto, discutia a tarefa comum e transpunha as idéias diretamente para o material.”( Walter Gropius. Bauhaus: Nova Arquitetura. São Paulo: Perspectiva, 1972, p. 25 – citado por BICCA,1984).

As noções da inteira liberdade do trabalhador medieval quanto ao exercício de seu ofício não parecem ser muito verdadeiras, uma vez que a organização econômica do canteiro impunha medidas de padronização e repetição de tarefas.

Além dos problemas internos à organização das obras, é preciso considerar também quais as condições gerais em que se achavam os construtores da época: o contexto ecológico (pedreiras e florestas/pedras e madeira) e sócio-econômico que atuava sobre eles sujeitava e condicionava não somente seu modo de vida, mas também suas escolhas técnicas.

A superexploração das florestas, que era uma consequência não somente dos grandes desmatamentos produzidos pela expansão demográfica, mas também pelo manejo tradicional da época (matéria para combustível (lenha e carvão) e madeira para utilização em obras), levou o nordeste da França, berço da arquitetura gótica a uma grande escassez de madeira com secções adequadas para construção.

Esta dificuldade provocou uma necessária evolução técnica, que a hagiografia, as crônicas e os Cadernos de Villard de Honnecourt nos informam.

Os custos dos transportes, sobretudo por via terrestre, incidem decisivamente sobre as técnicas empregadas e refletem-se notadamente no talhe das pedras em uma “estandartização” ou modulação na pedreira.

O emprego das janelas e arcos ogivais, que podem ser construídos com diversas curvas de mesmo raio, porém com alturas diferentes, utiliza-se de peças de mesmo perfil e curvatura, prestando-se assim aos propósitos de usar um pequeno repertório formal para compor arcos de várias inclinações.

Além das novas possibilidades trazidas pelo emprego das janelas e arcos ogivais e dos arcobotantes, desenvolve-se também, por exigências das mudanças litúrgicas, a arte dos vitrais, que permite trazer a luz para dentro das naves, proteger contra a chuva e o frio e aliviar as fachadas pelo emprego de menor volume de pedras.

O Abade Suger em Saint-Denis, berço do gótico, queria uma igreja na qual a luz brilhasse e a escuridão fosse dali varrida. Afirmava que a alma é fortemente arrastada para Deus ao contemplar o brilho cintilante da luz refletida em pedras preciosas (BROOKE,op.cit.,1972).

A ciência da construção, inteiramente empírica, apoiando-se nas experiências mais arrojadas, progredia rapidamente e os construtores do país que desenvolveram a nova arquitetura, adquiriram uma competência que os fizeram requisitados por toda a Europa, como mestres de obras ou arquitetos.

Foi provavelmente por um desses títulos que Villard de Honnecourt foi levado a viajar ao exterior e assim sair de sua terra natal, a Picardia, para visitar a Île-de France, a Champagne, a Suíça e a Hungria.

Os conhecimentos extremamente rudimentares em matéria de Geometria foram evidenciados pela correspondência de 1025 (século XI) entre os escolásticos Radolf de Liège e Ragimbold de Cologne sobre suas pesquisas e pelos esforços de outros escolásticos com Francon, Wazron, Razegan e Adelman que se esforçavam para demonstrar corretamente o Teorema dos ângulos internos de um triângulo. Mesmo através dos desenhos de Roriczer em 1486 (século XV) no “Livro da Construção Exata dos Pináculos”, percebemos a limitação dos conhecimentos em Geometria.

O conhecimento teórico e matemático da Geometria era pequeno por parte dos mestres construtores e havia uma imensa dificuldade no diálogo com os sábios e intelectuais pelas barreiras entre o latim culto e o latim vulgar.

Esta afirmação sobre os limitados conhecimentos dos mestres construtores era provavelmente exata para os teóricos, mas não parecia ser verdadeira no mundo do trabalho.

Ao domínio da demonstração como entendemos hoje – aquelas que interessam aos matemáticos, teóricos, filósofos ou sábios e que demonstrariam a plena compreensão da obra de Euclides – contrapõe-se a prática do “traço”, o plano de traçados reguladores com sua geometria prática.

É admirável que se possa imaginar como, deste modo, as catedrais góticas puderam ser erguidas sem maiores conhecimentos dos domínios da Geometria.

Restam os traços ou riscos como é mais comum entre nós e os modelos e maquetes. O risco em escala natural era importante etapa na passagem do plano para a forma esculpida ao longo de toda a história da construção erudita (TOLEDO,op.cit.,1978).

Lúcio Costa explica o significado da palavra risco na Arquitetura:

“Da mesma forma que e expressão inglesa design, a palavra risco, na sua acepção antiga, está sempre associada à idéia de concepção ou feitio de alguma coisa e como tal não significa apenas o desenho, drawing, senão desenho visando a feitura de um determinado objeto ou a execução de uma determinada obra, ou seja, precisamente o respectivo projeto.”

A função do risco em escala natural – aqui como desenho aberto na argamassa de uma parede ou em camada de gesso no piso – seria servir de guia para marcar a pedra segundo a projeção da peça num plano (vertical ou horizontal) e orientar seu corte (TOLEDO,op.cit.,1978). Restam exemplos ainda nas Catedrais de Wells e York, ambas na Inglaterra.

Os modelos – que aparecem muito na iconografia medieval – prefiguram os resultados finais da edificação, servindo também para ser mostrado ao Capítulo da futura catedral para conhecimento e aprovação do projeto.

Se os métodos utilizados não são auxiliados por desenhos na época, é notável que os traçados estão destinados a servir por um curto período de tempo e que são feitos geralmente sobre suportes efêmeros ou reutilizáveis. São desenhados sobre pergaminhos (suporte bastante caro e de dimensões reduzidas), placas de madeira, superfícies de gesso, argamassas de cal e muito raramente sobre placas de pedra.

Em razão da necessidade já referida de aprovação do projeto perante o Capítulo e o próprio Bispo, os Arquitetos eram levados a desenhar grandes fachadas, caprichosamente preenchidas com cor.

Mas, os métodos são guardados em segredo, apenas acessíveis para aqueles que possuíam os conhecimentos do ofício dos construtores, os quais eram transmitidos de forma oral e através de esquemas desenhados e identificados por textos quase “criptográficos”.

A experiência é baseada em métodos estabelecidos empiricamente, transmitidos de geração em geração e que são enriquecidos pelo acréscimo de conhecimentos obtidos nas “loggias” das novas obras.

Entre o mundo dos práticos e aquele dos sábios e intelectuais existiam barreiras que não permitiam que o saber fosse compartilhado.

Os arquitetos mestres construtores, iniciados na prática geométrica da construção, guardavam ciosamente seus segredos corporativos, enquanto que os “teóricos” desprezavam a utilização prática dos conhecimentos geométricos.

Além disso, as barreiras entre as línguas culta e vulgar e as dificuldades dos arquitetos mestres construtores com a matemática, complicavam ainda mais uma possível cooperação com os teóricos.

Mesmo assim, como a Geometria sempre foi considerada uma Arte Liberal e de alguma forma ela era utilizada pelos arquitetos, seu ofício era altamente considerado, embora implicasse em um trabalho manual.

Por isso, é provável que apesar do livro Os Elementos de Euclides ter sido vertido para o latim logo nas primeiras décadas do século XII, ele pouco deve ter acrescido de imediato ao trabalho prático dos mestres construtores (PADOVAN,op.cit.,1999).

Podemos então perguntar: qual geometria auxiliava os construtores?

Geometria, sem dúvida, com fonte na Geometria de Euclides ou em tratados como o de Vitruvius, cujas cópias, hoje sabemos, existiram sempre pela Europa?

É particularmente difícil penetrar nos métodos de certas técnicas, pois a discrição no seu detalhamento é rigorosamente observada pelos pedreiros e arquitetos.

Esses “segredos de ofício” aparecem ratificados num famoso documento resultante de um encontro de talhadores de pedras em Ratisbonne (1459 – século XV) que rezava que

“nenhum trabalhador, mestre, parlier ou jornaleiro, ensinará a quem não for de nosso ofício e nem tenha jamais exercido o ofício de pedreiro, como tirar a elevação do plano.”

Se a discrição ou segredo dos métodos é respeitável e justificável por várias razões, ela constituiu-se num freio à cooperação de todos os que poderiam, com conhecimentos complementares, fazer avançar as técnicas antigas que constituíam o patrimônio comum.

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

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Nota

[1] – Registradas nos Cadernos de Villard de Honnecourt

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O Desenho e o Canteiro no Renascimento Medieval (séculos XII e XIII): Indicativos da formação dos arquitetos mestres construtores – Capítulo I

Os Postulados de Euclides – Ideias Geniais [02] | André L. Guimarães

1 – Os Elementos – a Geometria de Euclides

O contacto com a estrutura da obra monumental Os Elementos de Euclides é fundamental para constatarmos sua importância no desenvolvimento e na história da Matemática.

Após sua primeira versão impressa em Veneza em 1482, calcula-se em pelos menos mil o número de edições que foram tiradas. Talvez nenhum livro além da Bíblia tenha tido tantas edições. Além disso, nenhuma obra matemática teve relevância comparável a Os Elementos.

A insistência em colocar sua máxima importância no campo da matemática, está no fato de que durante toda a Idade Média e particularmente no período em estudo – séculos XII e XIII – a utilização da Geometria Euclidiana no campo da prática construtiva é bastante diminuta, restringindo-se a algumas Proposições do Livro I, das quais não se conheciam as demonstrações.

A invocação de Euclides deve ser entendida neste campo como um emblema e uma aspiração, mais do que o testemunho de uma aplicação real. Muitos citavam ou lembravam Euclides como forma de garantir um aval científico e veracidade a procedimentos práticos de seu trabalho, que não tinham provas geométricas (Rabasa-Diaz, op.cit.,2000).

As consequências advindas desta situação serão abordadas adiante. Apesar disso, Os Elementos de Euclides é a mais antiga obra matemática grega a chegar até nós: o trabalho de organização e sistematização foi tão memorável, que todas as obras matemáticas anteriores foram descartadas.

O pouco que sabemos sobre a pessoa de Euclides é através de Proclus (411 – 485):

“Este homem viveu no tempo de Ptolomeu I (que reinou no Egito de 306 AC até sua morte em 283 AC). Arquimedes que veio imediatamente após Ptolomeu I, faz menção a Euclides e conta que certa vez Ptolomeu I perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto para a geometria do que Os Elementos, ao que Euclides refutou dizendo que“ não havia um caminho real para a geometria”.

A mesma história contada por Stobaeus, um escritor grego do século V AC sobre Alexandre, o grande e Menaechmus, aluno de Eudoxus e que provavelmente foi tutor do rei. Diz que Alexandre pede a Menaechmus um ensino conciso da geometria, mas ele replica:

”Ó rei, através do país existem estradas reais e estradas para os cidadãos comuns, mas na geometria há somente uma estrada para todos”.

“Euclides é mais jovem que os alunos de Platão, mas mais velho que Erastosthenes e Arquimedes que eram contemporâneos”.

Este texto mostra que Proclus não tinha conhecimento correto do local de nascimento de Euclides, nem das datas de nascimento e morte. Podemos inferir através de Proclus que Euclides foi intermediário entre os primeiros alunos de Platão e Arquimedes. Platão morreu em 347 AC, Arquimedes viveu de 287 AC – 212 AC e Erastosthenes c.284 AC – 204 AC. Então, Euclides deve ter vivido em torno de 300 AC, o que é compatível com o reinado de Ptolomeu I (306 AC – 283 AC).

Atualmente, as datas mais concordes para o nascimento e morte de Euclides são 325 AC e 265 AC.

É muito provável que Euclides tenha recebido seu treinamento em matemática em Atenas, dos alunos da Academia de Platão e onde a maioria dos geômetras que poderiam ensiná-lo estava. Era também em Atenas onde os velhos escritores de elementos de geometria e outros matemáticos, cujos trabalhos alimentavam Os Elementos de Euclides, viviam e ensinavam.

Euclides não foi um Platônico. Proclus diz que ele foi da escola de Platão e estava muito perto de sua filosofia; na verdade isto era apenas uma tentativa dos Neo-Platônicos em conectar Euclides à sua filosofia, o que fica claro com a frase:

“por alguma razão própria, a finalização dos Elementos é a construção das chamadas figuras Platônicas.”

É evidente com esta ideia o desejo de Proclus em inferir que Euclides foi um Platônico, porque seu Elementos finaliza (Livro XIII) com a investigação sobre os cinco sólidos regulares, embora a última passagem denote seu esforço em mostrar que a construção dos cinco sólidos regulares era o fim e o objetivo com que a obra pretendia suprir a base para o estudo da geometria em geral .

Euclides ensinou e fundou uma escola em Alexandria. Uma estória contada por Stobaeus, acentua o espírito eminentemente teórico e investigativo de Euclides em oposição ao sentido prático. Assim que terminou de ensinar seu primeiro teorema para um aluno iniciante em geometria, este lhe perguntou:

mas o que eu vou ganhar aprendendo estas coisas? Euclides chama seu escravo e lhe diz dê-lhe três moedas, pois ele precisa ganhar alguma coisa com o que aprende.

Alexandria apesar de localizada onde hoje é o Egito, foi uma cidade grega, como seu nome completo revelava: Alexandria perto do Egito. A cidade tornou-se a mais importante do mundo oriental após a morte de Alexandre (Museu e Biblioteca de Alexandria, dos quais Euclides foi membro) e assim permaneceu até o domínio da corte de Cleópatra pelos romanos.

Enquanto Roma crescia, Alexandria mantinha-se como o centro intelectual do Império, espalhando sua influência desde os tempos de Euclides (300 AC) até a sua tomada pelos árabes em 641.

Durante a Idade Média muitos tradutores e editores chamavam Euclides de Euclides de Megara. Este engano nasceu da confusão entre Euclides e o filósofo Euclides de Megara que viveu por volta de 400 AC. A primeira referência a Euclides como Euclides de Megara ocorre no século XIV com Theodorus Metochita (c. 1332) que chamou “Euclides de Megara, filósofo socrático, contemporâneo de Platão” como autor de tratados de geometria. O equívoco permanece após a tradução e a edição impressa de Campanus feita em Veneza em 1482, a de Bartolomeo Zamberto em Paris,1516, a de Tartaglia em Veneza, 1565, a de Candalla em Paris, 1566 e a de Billingsley em Londres, 1570.

A mais importante tradução de Os Elementos para o latim é de Commandinus de Urbino (1509 – 1575) a quem pertence o crédito de colocar a matéria do primeiro tradutor sob suspeita e corrigir o erro a que as pessoas foram induzidas a acreditar que Euclides era o mesmo que o filósofo Euclides de Megara.

1.1 – Os Elementos de Euclides na Arábia

Para conhecermos um pouco mais a complexidade da obra de Euclides, vamos examinar alguns aspectos de sua trajetória pela Arábia, local de onde vieram os originais para as famosas traduções da Escola de Tradutores de Toledo na Península Ibérica. A primeira tradução da obra para o latim, feita por Adelard de Bath originou-se de fonte árabe.

O califa Al-Mansur (754-775) obteve do imperador bizantino uma cópia de Euclides entre os livros gregos e manuscritos guardados por Constantinopla. Seguindo o interesse pelas obras gregas da Antiguidade, outro califa, Al-Mamun (813-833) também conseguiu mais livros gregos. Esta coleta de material bibliográfico resultaria na existência da Casa da Sabedoria em Bagdá, cuja principal finalidade era traduzir obras do grego para o arábico. Foi uma antecessora da Escola de Tradutores de Toledo.

A versão dos Elementos de Al-Hajjaj é talvez o primeiro livro traduzido do grego para o arábico. O autor fez duas traduções: a primeira era conhecida como “Haruni” (para Harun) e a segunda, mais fiel, levou o nome de “Ma’muni” (para Al-Mamun). Seis livros desta segunda versão sobreviveram na Biblioteca de Leiden.

O prefácio da obra relata que no início do reinado de Harun (780-809), Al-Hajjaj recebeu a incumbência de traduzir os Elementos para o arábico. Depois, quando Al-Mamun tornou-se califa e interessou-se pelo estudo, Al-Hajjaj sentiu que poderia aumentar ainda mais este interesse, “se ele ilustrasse, explicasse e reduzisse o livro a dimensões menores”. Retirou coisas que considerava supérfluas, consertou lapsos, corrigiu e removeu erros até reduzir o livro, porém sem alterar a substância para o uso de homens com habilidades e devotados ao ensino.

A obra foi traduzida depois por Ishaq Hunain (morto em 910), diretamente do grego, devido ao seu exímio domínio da língua grega. Uma revisão foi feita em comum acordo entre Ishaq e Thabit, morto em 901 (9 anos antes de Ishaq). Sabe-se que Thabit consultou também os originais gregos em sua revisão.

Isto fica expresso nas notas marginais na versão para o hebreu de Os Elementos, feita a partir do trabalho de Ishaq e atribuída a Moses Tibbon (c. 1244-1274) e Jakob Machir (morto depois de 1306).

Os inúmeros acréscimos e elisões na obra são demonstrados na observação de Thabit de que a proposição citada no Livro IX como de número 31, não foi por ele encontrada antes nos gregos, mas somente no arábico. Com isso, duas conclusões são possíveis: os árabes tinham interesse pela autenticidade do texto grego e que Thabit não alterou o número de proposições da tradução de Ishaq.

A forma arábica atualmente mais acessível de Euclides é a versão de At-Tusi (1201-1274). Esta edição apareceu em duas formas, uma maior e outra menor. Da maior encontra-se em Florença apenas seis livros; foi publicada em Roma em 1594 em arábico e por isso poucos puderam lê-lo.

A forma menor que está em 15 livros encontra-se em Berlim, Munique, Oxford, Museu Britânico, Paris e Istambul (antiga Constantinopla). Foi impressa em Constantinopla em 1801.

O trabalho de At-Tusi não é apenas uma tradução do texto de Euclides, mas um esforço de reescrever Euclides baseado em antigas traduções arábicas. Deste modo, parece ser como a versão latina dos Elementos de Campanus que foi publicada primeiro por Erhard Ratdolt em Veneza em 1482 – a primeira versão impressa de Euclides.

Campanus (século XIII) foi um matemático que usou da mesma liberdade de At-Tusi para editar Euclides. A relação entre a versão de Campanus e a de Adelard de Bath (c. 1120) foi que ambos usaram a mesma versão latina dos séculos X-XI. É certo que ambas as versões proveem de fontes arábicas, pela ocorrência de palavras árabes no texto.

A versão de Campanus não serve ao propósito de atestar a autenticidade das tradições grega e árabe, mas preserva alguns traços da fonte original como quando omite a adição feita por Theon ao Livro VI. É curioso que enquanto a versão de Campanus concorda com a de At-Tusi no número de proposições (teoremas) em todos os livros de Euclides, exceto no V e no IX, ele concorda com Abelard de Bath com as 34 proposições (teoremas) do Livro V (contra 25 em outras versões).

Isto confirma que Campanus e Adelard não são independentes e também levanta uma dúvida: ou as adições ao Livro V são do próprio Adelard ou ele usou uma versão arábica de Euclides desconhecida até hoje.

Os autores que trabalharam sobre fontes gregas são: Gregory of St. Vincent que publicou em 1647 Opus Geometricum Quadraturae circuli et sectionum coni; August,E.F. que publicou em Berlim (1826-9) a última edição sobre o texto grego antes de Heiberg – Livros I ao XIII e Heiberg, J.L que publicou em Leipzig (1883-1916) os 9 volumes de Euclid Opera Omnia.

1.2 – A organização da Obra

Os livros que compõem Os Elementos são os mais antigos tratados gregos que chegaram até nós. Ao escrevê-los Euclides pretendia reunir num texto três grandes descobertas de seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto e a teoria dos cinco sólidos regulares (poliedros) de Platão.

A obra está dividida em treze livros (os Livros XIV e XV não são de autoria de Euclides), que ao contrário do senso comum, não tratam apenas de Geometria, mas têm seus assuntos assim distribuídos:

Livros I a IV – tratam de geometria plana elementar. São os Livros que mais nos interessam, pois são os únicos que comparecem com alguns ensinamentos nos desenhos e croquis dos séculos XII e XIII, especialmente nos cadernos de Villard de Honnecourt (c. 1225-1235). Parte de propriedades elementares de retas e ângulos que vão conduzir à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao Teorema de Pitágoras (Livro I – proposição 47), à construção de um quadrado com área igual à de um retângulo dado, à secção áurea, ao círculo a aos polígonos regulares.

Livro V – apresenta a Teoria das Proporções de Eudoxo (408 – 355 AC) em sua forma puramente geométrica.

Livro VI – dedica-se aos problemas de semelhança de figuras planas. Retorna à secção áurea e ao Teorema de Pitágoras (proposições 30 e 31) como teoremas referentes a razões entre grandezas. A proposição 27 deste Livro contém o primeiro problema de máxima que chegou até nós, ou seja, provou que o quadrado é de todos os retângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima.

Livros VII a IX – são dedicados à Teoria dos Números: divisibilidade de inteiros, adição de séries geométricas, algumas propriedades dos números primos e a prova da irracionalidade do número pi (Teeteto 417- 369 AC).

Livro X – é considerado o mais difícil entre todos os Livros. Contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e suas raízes.

Livros XI a XIII – tratam da geometria sólida e conduzem através dos ângulos sólidos aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e ao que parece ter sido considerado o ponto mais alto da obra, à discussão dos cinco poliedros regulares (chamados platônicos) juntamente com a prova de que somente existem estes cinco poliedros regulares. Esta discussão é a causa de Proclus ter afirmado que Euclides era também platônico, pois a teoria dos cinco sólidos regulares ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.

Em algumas versões dos Elementos, aparecem os Livros XIV e XV, que não são de Euclides. O Livro XIV pode ter sido escrito por Hypsicles (viveu na segunda metade do século II AC) com base num tratado de Apolonius sobre cônicas e o Livro XV talvez tenha sido escrito por Isidoro de Mileto (que viveu por volta de 532), arquiteto da catedral de Santa Sofia em Constantinopla.

Os Elementos de Euclides têm por isso uma importância ímpar na história da Matemática, pois não apresenta a Geometria como um agrupamento de dados desconexos, mas como um sistema lógico. As definições, os axiomas ou postulados (que fixam a existência de entes fundamentais como o ponto, a reta e o plano) e as proposições (teoremas) não aparecem agrupados ao acaso, mas numa ordem perfeita. Cada proposição resulta das definições, axiomas e das próprias proposições anteriormente provadas, de acordo com uma demonstração rigorosa.

Euclides foi o primeiro a utilizar este método, chamado axiomático. Deste modo, seus Elementos constituem o primeiro e maior exemplo de um sistema lógico que se tornaria modelo almejado até hoje por outras ciências.

1.3 – O conteúdo do Livro I

É muito esclarecedor conhecer o conteúdo deste primeiro Livro, que trata da Geometria Plana. Parte de seu conteúdo irá fazer parte dos cadernos e compilações na forma de “segredos” (sem provas matemáticas) dos Mestres Construtores, ciosamente guardados pelas Corporações de Ofício. [grifo nosso do blog]

Dada a complexidade de Os Elementos, obra que se revela mais inclinada à ciência matemática e, portanto de viés teórico, percebemos que a utilização prática procurada pelos mestres construtores é bastante difícil e improvável dada a exigência de conhecimento matemático de nível não usual.

Os procedimentos práticos virão mais diretamente do fazer cotidiano dos agrimensores romanos (Balbus com De Mensuris – Gromatic Veteres) como abordaremos adiante.

Como a maioria dos treze livros, o Livro I começa com uma lista de Definições, sem qualquer comentário. A definição é como uma abreviação. O principal na arte de criar matemática é a formulação das definições apropriadas. Sócrates dizia que “o começo da sabedoria é a definição dos termos”.

Em seguida às Definições (em número de 23) aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas. Os Postulados (em número de 5) são proposições geométricas específicas. São leis que não receberão demonstrações, mas que figurarão como premissas básicas. Postular significa “pedir para aceitar”.

As Noções Comuns ou Axiomas (em número de 5) tratam de questões de caráter geral e não específicas da geometria. Os problemas procuram novas entidades geométricas a partir de um dado conjunto. A solução de um problema é chamada de construção.

Livro I

Definições

  1. um ponto é aquilo que não tem partes.
  2. uma linha é um comprimento sem largura.
  3. os extremos de uma linha são pontos.
  4. uma linha reta é uma linha traçada uniformemente com os pontos sobre si.
  5. uma superfície é aquilo que só tem comprimento e largura.
  6. os lados de uma superfície são linhas.
  7. uma superfície plana é uma superfície traçada uniformemente com suas retas sobre si.
  8. um ângulo plano é a inclinação, em relação uma com a outra, de duas retas de um plano que se cruzam entre si e não estão na mesma reta.
  9. quando as linhas que contém o ângulo são retas, o ângulo é chamado retilíneo.
  10. quando uma reta é colocada sobre outra reta de maneira que os ângulos adjacentes sejam iguais, cada um dos ângulos é chamado reto e a reta superposta diz-se perpendicular à primeira.
  11. um ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.
  12. um ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
  13. uma fronteira é aquilo que é a extremidade de alguma coisa.
  14. uma figura é tudo aquilo que fica delimitado por qualquer fronteira ou fronteiras.
  15. um círculo é uma figura plana fechada por uma linha tal que todos os segmentos que sobre ela estejam e que passem por um ponto determinado do interior da figura sejam iguais entre si.
  16. e o ponto é chamado centro do círculo.
  17. o diâmetro do círculo é uma linha reta desenhada passando pelo centro e terminando em ambas as direções na circunferência do círculo e como uma linha reta, também bissecta o círculo.
  18. o semicírculo é a figura contida pelo diâmetro e a circunferência é cortada por ele. O centro do semicírculo é o mesmo do círculo.
  19. figuras retilíneas são aquelas delimitadas por linhas retas, figuras triláteras são contidas por três, quadriláteras são contidas por quatro e multiláteras são contidas por mais de quatro linhas retas.
  20. nas figuras triláteras, o triangulo equilátero é aquele que tem os três lados iguais, um triangulo isósceles é aquele que tem dois de seus lados iguais e um triangulo escaleno é aquele que tem os três lados diferentes.
  21. ainda nas figuras triláteras, um triangulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto, um triangulo obtusângulo é aquele que tem um ângulo obtuso e um triangulo acutângulo é aquele que tem três ângulos agudos.
  22. das figuras quadriláteras, o quadrado é aquele que tem os lados iguais e os ângulos retos; um oblongo (retângulo) é aquele que tem ângulos retos mas os lados não são iguais; o rombo (losango) é aquele que tem os lados iguais e os ângulos não retos e o rombóide (paralelogramo) é aquele que tem seus lados opostos e ângulos iguais a outro, mas não tem os lados iguais nem os ângulos retos. Chamemos outros quadriláteros que não tenham estas condicionantes de trapézio.
  23. retas paralelas são linhas retas que estando no mesmo plano, prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, não se cruzam.

Postulados

  1. dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.
  2. um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta.
  3. dados um ponto qualquer e uma distancia qualquer, pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distancia dada.
  4. todos os ângulos retos são iguais entre si.
  5. se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.

Noções Comuns ou Axiomas

  1. duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
  2. se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados continuarão sendo iguais.
  3. se quantias iguais forem subtraídas das mesmas quantias, os restos serão iguais.
  4. coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
  5. o todo é maior do que as partes.

Proposições (Teoremas)

A Proposição 1 é uma das mais conhecidas e divulgadas nos compêndios para uso prático. Nos cadernos de Villard de Honnecourt esta Proposição é ilustrada pelo desenho “mneumônico” dos flamingos.

Figure 2 for Marie-Thérèse Zenner's Villard de Honnecourt and ...Os Flamingos – Folha F 18v . Os pescoços lembram a obtenção de
perpendiculares a uma linha. Roland Bechmann chama este desenho de figura de memória.
Extraído de Zenner, (op.cit.,2002).
  1. sobre um segmento de reta construir um triangulo equilátero.
  2. sobre um ponto dado (usado como extremidade) desenhar uma linha reta igual à linha reta dada.
  3. dadas duas linhas retas diferentes, determinar sobre a linha maior, um comprimento igual à menor.
  4. se dois triângulos tem dois lados iguais respectivamente e tem os ângulos contidos por linhas retas iguais, eles terão também as bases iguais; os dois triângulos serão congruentes e os ângulos restantes serão iguais entre si.
  5. num triangulo isósceles os ângulos da base são iguais e se linhas retas iguais forem traçadas, os ângulos resultantes também serão iguais.
  6. se num triangulo dois ângulos são iguais ao de outro triangulo, os lados compreendidos entre os ângulos iguais são também iguais entre si.
  7. dadas duas linhas retas construídas sobre as extremidades de outra linha reta e que se encontram em um ponto, não se pode construir sobre a mesma linha reta (em suas extremidades) e do mesmo lado, duas outras linhas retas iguais às anteriores e que se encontrem em outro ponto.
  8. se dois triângulos tem dois lados e bases respectivamente iguais, os ângulos contidos entre os lados iguais também serão iguais.
  9. bissecar um ângulo retilíneo dado.
  10. determinar o ponto médio de um segmento de reta dado.
  11. desenhar uma perpendicular sobre uma reta passando por um ponto dado sobre ela.
  12. por um ponto dado fora de uma reta dada, construir a perpendicular à reta passando pelo ponto.
  13. se uma linha reta encontrar outra linha reta, ela poderá determinar ou dois ângulos retos ou ângulos cuja soma é igual a dois retos.
  14. se numa linha reta e um ponto dado sobre ela traçarmos duas linhas do mesmo lado e por este ponto, elas formarão ângulos adjacentes cuja soma é igual a dois retos.
  15. se duas linhas retas se cortam, elas produzem ângulos verticais iguais.
  16. em qualquer triangulo, se um dos lados produzir um ângulo externo, ele é maior que o ângulo interno e igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
  17. em qualquer triangulo a soma de dois ângulos é menor que dois ângulos retos.
  18. em qualquer triangulo o maior lado é oposto ao maior ângulo.
  19. em qualquer triangulo o maior ângulo é oposto ao maior lado.
  20. em qualquer triangulo a soma de dois lados é maior que o terceiro.
  21. se sobre um dos lados de um triangulo, a partir de suas extremidades construirmos duas linhas retas que se encontram dentro do triangulo, as linhas retas construídas serão menores que os outros dois lados remanescentes, mas conterão um ângulo maior que o oposto ao lado escolhido.
  22. para construir um triangulo com três segmentos de reta dados é necessário que o comprimento da soma de dois deles seja maior que o remanescente.
  23. sobre uma linha reta e um ponto dado sobre ela construir o ângulo retilíneo igual a outro ângulo retilíneo dado.
  24. se dois triângulos tem dois lados respectivamente iguais, mas tem um dos ângulos contidos pelas linhas retas iguais maior que o outro, a base deste será maior que o outro.
  25. se dois triângulos tem lados respectivamente iguais, mas uma das bases maior que a outra, ele terá também o ângulo contido pelos lados iguais, maior.
  26. se dois triângulos tem respectivamente dois ângulos iguais e um lado entre eles igual a outro lado, o ângulo e os lados remanescentes são iguais.
  27. se uma linha reta cortar duas linhas retas formando ângulos alternadamente iguais, as linhas retas são paralelas.
  28. se uma linha reta cortar duas linhas retas formando um ângulo externo igual ao interno no mesmo lado ou os ângulos interiores do mesmo lado iguais a dois ângulos retos, as linhas retas são paralelas.
  29. uma linha reta corta linhas paralelas ela forma ângulos externos iguais, o ângulo externo igual ao interno e oposto pelo vértice e os ângulos internos do mesmo lado iguais a dois ângulos retos.
  30. duas linhas retas paralelas entre si são paralelas a uma outra.
  31. através de um ponto dado, desenhar uma linha reta paralela a uma linha reta dada.
  32. em qualquer triangulo, se um dos lados produz um ângulo externo, ele é igual à soma dos ângulos que não lhe são adjacentes e a soma dos três ângulos internos do triangulo é igual a dois retos.
  33. a junção de linhas paralelas e iguais (pelas suas extremidades) através de linhas retas, produz também linhas iguais e paralelas.
  34. num paralelogramo, os lados opostos e os ângulos são iguais e o diâmetro bisseca as áreas.
  35. paralelogramos iguais tem a mesma base sobre as mesmas paralelas.
  36. paralelogramos que tem as mesmas bases sobre as mesmas paralelas são iguais.
  37. triângulos iguais tem a mesma base e o terceiro vértice sobre a mesma paralela.
  38. triângulos com bases iguais e o terceiro vértice na mesma paralela são iguais.
  39. triângulos iguais com a mesma base e do mesmo lado tem o terceiro vértice na mesma paralela.
  40. triângulos com bases iguais ,do mesmo lado e com o terceiro vértice na mesma paralela, são iguais.
  41. se o paralelogramo tem a mesma base que o triangulo e estão sobre as mesmas paralelas, o paralelogramo é o dobro do triangulo.
  42. construir com um ângulo retilíneo dado, um paralelogramo igual ao triangulo dado.
  43. em qualquer paralelogramo a diagonal divide-o em duas partes iguais.
  44. sobre uma dada linha reta, construir com um ângulo dado um paralelogramo igual a um triangulo dado.
  45. construir com um ângulo retilíneo dado, um paralelogramo igual a uma figura retilínea dada.
  46. sobre uma linha reta, desenhar um quadrado.
  47. num triangulo retângulo o quadrado do lado oposto ao ângulo reto é igual ao quadrado dos lados que formam o ângulo reto (Teorema de Pitágoras).
  48. se num triângulo o quadrado de um dos lados é igual aos quadrados dos lados remanescentes, o ângulo contido pelos lados remanescentes é reto.

Com esta Proposição, encerra-se o Livro I. A Geometria Plana seguirá sendo exposta até o Livro IV, nesta mesma estrutura de Definições e Proposições.

A simples leitura destas Proposições revela-nos a essência de um raciocínio lógico-cumulativo, com algumas demonstrações (provas) que requerem um conhecimento matemático não encontrado facilmente no período medieval em estudo (séculos XII e XIII) e que por isso necessita de um tipo de transmissão oral para seu entendimento e aplicação prática pelos trabalhadores do canteiro.

Continua…

Autor: Francisco Borges Filho

Tese apresentada à Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor. Área de concentração: Estruturas Ambientais Urbanas.

Fonte: Digital Library USP – Theses and Dissertations

Clique AQUI para ler a parte da Introdução

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“Quem não é geômetra não entre!” Geometria, Filosofia e Platonismo

Imagem relacionadaA Academia de Platão, artista desconhecido, mosaico, Pompeia, c. séc. I a. C.

O objetivo deste artigo é analisar, a partir dos textos de Platão e de comentadores, a apresentação de argumentos a favor da utilização da matemática e da geometria como propedêutica à aprendizagem da filosofia, bem como investigar as reverberações da ontologia e da epistemologia platônicas nesse programa pedagógico. Pretende-se, ainda, apontar comparativamente similaridades entre crises nos fundamentos da matemática e seu impacto na concepção de racionalidade, tanto no universo grego antigo como na contemporaneidade.

“Dois e dois são três” disse o louco.
“Não são não!” berrou o tolo.
“Talvez sejam” resmungou o sábio.
Skepsis, José Paulo Paes2

Introdução

Gostaríamos de começar este artigo com uma crônica de nossos dias. A revista Carta Capital, em sua coluna Brasiliana, de setembro de 2006, comenta o sumiço do “Professor”. Trata-se de uma história da Praça XV, no centro de Florianópolis, onde vivem diversos moradores de rua. Entre eles, o “Professor”:

Se autodenominava revolucionário e falava português, inglês, espanhol, francês, italiano, alemão, holandês, ao todo sete idiomas. Antes de ter ido embora, ensinava estas línguas aos colegas, logo depois do almoço, a divisão dos restos dos pães doados pelo padeiro do outro lado da  rua.3

Falava também de Marx e Weber, e suas aulas acabavam em longas discussões oportunamente regadas à cachaça de R$1,50. Os amigos contam que pouco antes de seu desaparecimento, havia feito uma revelação a todos: retirando de sua sacola uma pasta cinza, teria mostrado papéis com números, desenhos, uns triângulos de ponta-cabeça. Eram esboços de sua autoria – havia esclarecido, e concluíra enfático: “Aqui está a equação matemática, cuja solução será capaz de explicar… tudo nesta vida!”4

Sim, a equação matemática capaz de explicar tudo… Apesar de infinitamente distante da Praça XV, o mundo para o qual olharemos, aquele das relações entre geometria e filosofia na época clássica, parece ter alojado a mesma tensão gnoseológica: aqui, a brincadeira é aquela de achar, na matemática, a explicação “de tudo nesta vida”. Certamente, essa ambição de compreender o mundo descobrindo seus números e as relações entre eles é antiga e não está reservada, exclusivamente, àquele âmbito da cultura que costumamos chamar de ocidental.5 Hoje, nós a pensamos bastante influenciados, ainda, pelo paradigma da ciência moderna, aquela fundada por Galileu, que via a natureza como um livro, encontrando nela um léxico matemático,6 e teorizada por Descartes ao falar de mathesis univesalis, uma ciência geral relativa à ordem e à medida.7

A relação entre matemática e natureza (phýsis) tornou-se particularmente diferente, a partir do momento em que foram publicados, em 1638, os Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.8 Uma das razões principais foi o fato de Galileu romper com a tradição aristotélica que separava o trabalho do físico daquele do geômetra, pois enquanto o primeiro examinava coisas reais, o segundo examinava razões em função de abstrações – os métodos de cada um não podiam ser os mesmos, dentre outras coisas, porque o espaço vazio da geometria seria incompatível com a ideia de lugar natural e de cosmos.9 O “caso Galileu” é, ainda, objeto de muita pesquisa, e alguns trabalhos recentes mostram as conexões complexas entre o que, hoje, chamamos física, astronomia, matemática e ontologia. Ao retomar certos pressupostos platônicos sobre a constituição matemática da matéria, Galileu teria, inclusive, dado margem a acusações de que suas pesquisas sobre o movimento possuíam implicações teológicas que ultrapassavam, sobremaneira, o campo da física.10 Que Galileu tenha herdado de Platão o estilo dialógico ou certos pressupostos metafísicos, como a circularidade do movimento dos astros, é fácil de ser constatado, mas o atomismo e o projeto de uma geometrização da natureza dependem de um esclarecimento que tentaremos fazer, aqui, por meio de um comentário do renomado helenista Gregory Vlastos. Com sua ajuda, faremos esse salto de, aproximadamente, dois mil anos, mergulhando no período que nos interessa nesse momento, a saber, aquele universo em que floresceu Platão.

Vlastos,11 partindo do pressuposto aristotélico de que a teoria da estrutura da matéria de Platão é uma variante da hipótese atômica de Leucipo e Demócrito,12 analisou o modo como Platão adaptou a concepção atomista ao propor que os átomos fossem suscetíveis de dois tipos de alterações: a primeira, relativa à existência de variedades de cada um dos tipos primários de matéria (éter e neblina são, por exemplo, variedades de ar)13; a segunda, relativa à mudança de um tipo de matéria em outro, como no caso dos átomos de fogo, ar e água, devido a eles terem faces idênticas, isto é, triângulos equiláteros. Lembremos que o Demiurgo imprimiu uma forma estereométrica regular à matéria, ao transformá-la de caos em cosmos; fogo, ar, água e terra são constituídos de tetraedros, hexaedros, octaedros, icosaedros, respectivamente.14 Esse atomismo geometrizado será aquele retomado por Galileu, que, defendendo a matematização da natureza como método para a elaboração de uma nova ciência, deu, como observou Alexandre Koyré, “uma prova experimental do platonismo”.15

Desnecessário lembrar que a exclamação no título deste artigo “Quem não é geômetra não entre!” se refere à famosa advertência que se podia ler no portal da Academia de Platão.16 Advertências análogas eram comuns nas entradas de templos e santuários antigos, nos quais, no lugar da geometria, eram requeridas pureza e outras qualidades, funcionando como uma “senha” para iniciados. De maneira análoga, iremos utilizá-la ao longo do ensaio, para indicar-nos o lugar que a matemática e a geometria assumem em um momento de grande importância na definição do pensamento ocidental e da filosofia em seu nascer: aquele da “descoberta” de um “método científico”, entre o V e o IV séculos a.C.17 “Quem não é geômetra não entre!”, portanto. Partiremos, daqui, para compreender a importância do diálogo entre a filosofia, a matemática e a geometria na construção desse método. Partiremos de Platão, lembrando que a palavra matemática vem do verbo mantháno, que significa, aprender, compreender, e esse saber (máthema) pode ser relativo à ideia (suprema) de Bem (República 505a). Hé mathematiké é o que concerne à ciência da matemática;18 as matemáticas são os conhecimentos que se apreendem em um corpo de disciplinas que se constitui de aritmética, geometria em duas dimensões, geometria em três dimensões, a astronomia e a harmonia dos sons (República 525a-531d), e que são fundamentais na formação do filósofo.19

Desse modo, uma sentença como a do frontão da Academia encaixa-se muito bem naquela que devia ser a prática das ciências matemáticas no interior da escola de Platão. Um entre muitos, podemos ficar com o testemunho de Proclo:

Platão (…) deu um imenso impulso a toda a ciência matemática e em particular à geometria, pelo apaixonado estudo que a isso dedicou e que divulgou quer recheando seus escritos de raciocínios matemáticos, quer despertando em toda parte a admiração por estes estudos naqueles que se dedicam à filosofia.20

Sobre o papel que Platão teria exercido como matemático, os estudiosos discordam, tendendo mais a considerá-lo um formador de jovens matemáticos do que um descobridor de novos métodos ou teorias. É o que afirma, por exemplo, Boyer: “Platão é importante na história da matemática principalmente por seu papel como inspirador e guia de outros e talvez a ele se deva a distinção clara que se fez na Grécia Antiga entre aritmética (no sentido de teoria dos números) e logística (a técnica da computação)”.21

A distinção a que se refere Boyer, sem oferecer maiores detalhes, é importante para nos dar a medida da preocupação platônica e mesmo de sua presença, ainda hoje, nos debates sobre a natureza da matemática. No Filebo (56d-e), Sócrates faz distinção entre a aritmética do homem comum e a do filósofo, com base na diferença dos “objetos” a que se dirige cada um: enquanto o primeiro opera com unidades que são distintas (ao contar dois exércitos, sabe-se que eles são diferentes), para o segundo, as unidades são todas indistintas (números são coleções de unidades puras).22 A rigor, a aritmética (como a geometria) do filósofo aplica-se apenas ao mundo do ser.23 Um problema decorrente dessa visão da aritmética e, também, da geometria é o de explicar como essas disciplinas se aplicam ao mundo físico. Uma tentativa será feita no Timeu, no qual temos uma teoria especulativa da construção geométrica do mundo, interligada ao realismo epistemológico e ontológico de Platão.24

Acrescente-se, ainda, que, independentemente das atividades de Platão como matemático, textos como o Mênon e o Teeteto mostram o quanto as questões matemáticas estão presentes na discussão sobre os critérios para a aquisição de conhecimento verdadeiro e sobre impasses gerados devido a problemas internos à geometria e à aritmética. Desde o famoso artigo de F. Cherniss, Plato as a mathematician,25 à recente obra de P. Pritchard, Plato’s philosophy of mathematics,26 tornou-se claro como a relação entre matemática e filosofia é estreita, e um primeiro momento de crise ocorre exatamente aqui, na Academia de Platão. É desse momento que falaremos a seguir de uma crise que é ocasião de “afinar os instrumentos” para a ciência antiga e para a filosofia dos séculos V e IV, de maneira especial. Uma crise que, em seu momento final, levará Aristóteles a sair “batendo a porta” e – numa imagem um pouco naïve e pela qual desde já nos desculpamos – derrubando, teoricamente, a famosa escrita no frontão. No entanto, para podermos compreender essa crise, será preciso recuar, observando como se desenhou a relação entre filosofia e geometria, ao longo de anos de fecunda simbiose, desde aqueles que a mitologia das origens da filosofia designou como ponto inicial, por meio de um “fundador”, Tales de Mileto.

Considerações sobre a relação entre a geometria e a filosofia que nasce

Galeno conta uma anedota que ilustra muito bem qual é a imbricação cultural das ciências matemáticas (e, de maneira especial, da geometria) no mundo grego: Aristipo teria sido jogado durante um naufrágio numa praia desconhecida, e vendo desenhadas na areia algumas figuras geométricas, teria ficado aliviado, pois, naquele momento, sabia não ter caído em terras bárbaras, e sim em terras gregas.27 Encontrava-se, de fato, na costa da Sicília, próximo da cidade de Siracusa. É verdade que Tales de Mileto, segundo o testemunho de Proclo, no Comentário ao primeiro livro dos elementos de Euclides, provavelmente retirado do sumário da mais antiga História da geometria de Eudemo, teria ido ao Egito estudar exatamente a geometria, que aqui nasceu para responder a necessidades práticas: “Foi o primeiro que, tendo ido ao Egito – trouxe de lá esta doutrina e a introduziu na Hélade, e ele próprio fez muitas descobertas e, de muitas, deixou uma ideia aos seus sucessores, abordando alguns problemas de modo mais geral, e outros de modo mais prático” (In Eucl. 65, 3).

Na medida em que o Egito é geralmente considerado o berço da civilização grega, “o reconhecimento da origem egípcia não era outra coisa senão o corolário da certeza de que a geometria era um traço essencial da identidade cultural helênica”.28 Entre outras descobertas de Tales, a tradição informou-nos sobre o famoso teorema, pelo qual o ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto, que parece ter sido o primeiro teorema de geometria demonstrado de forma dedutiva.29 Com Tales, um dos sete sábios já segundo Platão (Protágoras, 343a), a matemática insere-se em um programa maior, que poderíamos chamar de organização racional do conhecimento e do mundo, que passava pela astronomia, pela política e – sobretudo – pela conduta humana, isto é, pela ética. Esse programa não é invalidado mesmo se concordarmos que algumas célebres “proezas” atribuídas a Tales sejam de cunho até anedótico, como a de ter conseguido determinar a distância de um barco a partir da costa (D.L. I, 27) ou a altura de uma pirâmide (PLÍNIO, N.H. 36, 82). Elas são, claramente, anacrônicas, pois pressupõem o uso do conceito de proporção (analogía, lógos), um dos conceitos que nos interessa neste artigo, e que parece ter sido descoberto somente no âmbito pitagórico – posteriormente, portanto.30

De fato, tanto o desenvolvimento teórico da matemática como a aproximação entre ciência (em geral e, especialmente, a geometria) e ética aparecem de forma ainda mais significativa no pitagorismo,31 constituindo-se como o primeiro momento daquele que Boyer chamava de “período heroico da matemática”:

Praticamente não existem documentos matemáticos ou científicos até os dias de Platão no quarto século a.C. No entanto, durante a segunda metade do quinto século circularam relatos persistentes e consistentes sobre um punhado de matemáticos que evidentemente estavam intensamente preocupados com problemas que formaram a base da maior parte dos desenvolvimentos posteriores na geometria.32

É no interior do complexo e multifacetado movimento pitagórico que teriam sido cunhados os termos-chave de nossa discussão: “filosofia” e “matemática” (aquilo que se aprende, como dissemos antes).33 Os termos indicam os interesses fundamentais da escola, articulados no sentido daquele que, para Platão, era o grande objetivo da historía, da pesquisa pitagórica: um trópos tou biou, um estilo de vida, uma ética, uma conduta humana que dizia respeito, ao mesmo tempo, a preocupações religiosas e práticas ascéticas ligadas a uma concepção da imortalidade da alma reencarnacionista e a preocupações políticas. Uma geometria, digamos, aplicada à vida, mas em um sentido diferente daquele técnico ao qual estamos acostumados. É novamente Proclo a nos impedir de pensar nas pesquisas matemáticas dos pitagóricos como em algo simplesmente “funcional”: “Pitágoras fez do estudo da geometria um ensino liberal, subindo aos princípios com a investigação e estudando seus problemas sob um ponto de vista puramente abstrato e teórico. Deste modo foi ele que descobriu o tratamento dos irracionais e a construção da figuras cósmicas”.34

Desde o teorema de Pitágoras até todas as outras “descobertas” geométricas que Proclo, Euclides e outros atribuem aos pitagóricos, como também o fazem autores como Eudemo e Aristóxeno com relação ao desenvolvimento por estes da teoria musical (relações harmônicas de quarta, quinta e oitava)35 e ao campo da astronomia,36 a filosofia pitagórica tem uma intenção e uma acepção claramente teóricas, mesmo fazendo parte de um quadro geral filosófico e ideológico, em que as diversas disciplinas e interesses se compunham. Boyer, também, realça essa característica: “No mundo grego a matemática era aparentada mais de perto à filosofia do que a negócios práticos, e este parentesco permaneceu até hoje” (1974, p. 48). Ao que parece, a aritmética torna-se disciplina intelectual antes do que cálculo técnico (logística), já com os pitagóricos, o que é atestado por Aristóteles ao afirmar que aqueles “foram os primeiros a se dedicar às matemáticas e a fazê-las progredir” (Met. 985b24). Mas, ao mesmo tempo, diz Aristóteles, dedicaram-se à natureza (phýsis), no sentido do trabalho filosófico pré-socrático de determinar quais seriam os princípios (archai) ontológicos e epistemológicos da realidade. Dessa forma, “nutrindo-se das matemáticas, pensaram que os princípios delas fossem princípios de todos os seres”, concluindo, assim, que “o universo inteiro é harmonia e número” (Met. A 5, 985b25-26).

Vai além dos limites deste ensaio uma análise, ainda que breve, da contribuição pitagórica à história da matemática e da geometria, ou melhor, da aritmogeometria – célebre expressão de Abel Rey –, como se costuma chamar esse conjunto ainda indistinto de teoremas e teorias que a tradição nos transmite dos estudos do movimento pitagórico.37Concedemos à paciência historiográfica somente mais duas obervações. Primeiro, que seria melhor falar não de uma aritmogeometria, e, portanto, de uma correspondência entre números e figuras geométricas, mas de uma correspondência mais generalizada (cosmológica) entre número e todas as entidades constitutivas da realidade. Se é verdade que o número um é o ponto, o dois é a linha, o três é o plano, é também verdade que Eurito pensava poder indicar os números do cavalo e do homem, e Filolau o número que correspondia à memória, ao éros, a certas divindades.38 Segundo, que é oportuno lembrar uma outra vertente matemático-filosófica pré-platônica não pitagórica, na qual poderiam estar autores eleatas, como Zenão, e outros, como Anaxágoras e Demócrito. No entanto, a economia destas páginas não nos permite um tratamento adequado do tema.39Estamos interessados, no momento, em mostrar que o conhecimento sobre o princípio (arkhé) da filosofia pitagórica, o arithmos, o número indivisível, inteiro, que é a base da geometria e da filosofia pitagóricas (Met., 985b, 990a, 1078b, 1092b), entra em crise, na metade do século V. É, novamente, Boyer a introduzir muito bem os termos da questão:

Os diálogos de Platão mostram que (…) a comunidade matemática grega fora assombrada por uma descoberta que praticamente demolia a base da fé pitagórica nos inteiros. Tratava-se da descoberta que na própria geometria os inteiros e suas razões eram insuficientes para descrever mesmo simples propriedades básicas.40

Trata-se, provavelmente, de uma crise que acontece no âmbito pitagórico: Hipaso seria seu autor, pela descoberta das grandezas incomensuráveis (asýmmetronou sýmmetroi; álogos).41 A anedótica da história da filosofia conta-nos que, por esse motivo, teria sido expulso da escola pitagórica.42 A “ciência normal” de kuhniana memória já fazia aqui, provavelmente, sua primeira vítima. É uma crise grave nos fundamentos do conhecimento matemático, e não somente uma questão periférica, uma aporia secundária da geometria. O incomensurável irrompe no céu puro e imaculado das figuras e dos números racionais e de seus axiomas e princípios evidentes, dos quais procede a rigorosa cadeia de conseqüências necessárias. A crise atinge os próprios alicerces epistemológicos, tanto da matemática como da geometria.

Como já foi observado, frente aos problemas com a incomensurabilidade, muitas demonstrações perderam seu poder de convencimento, sendo reduzidas a raciocínios plausíveis. Como números significam, na época, “números racionais”, originou-se o que é chamado hoje “álgebra geométrica dos gregos”, por exemplo, “o retângulo de lado a e b” era usado em vez de “a vezes b“. Coube a Eudoxo (século IV a.C.) a tarefa de fornecer fundamento sólido para a matemática.43 Semelhante reação crítica e busca de rigor só ocorreriam, novamente, no século XIX, aparecendo, aliás, em um nível de maturidade filosófica semelhante ao de Eudoxo, que, com sua teoria das proporções, formulou uma primeira abordagem satisfatória dos números irracionais. Lembremos como Dedekind, para fundamentar a Análise (que é um desdobramento do cálculo diferencial e integral), seguiu métodos semelhantes aos de Eudoxo. Outras crises, entretanto, surgiram ligadas, principalmente, à Teoria dos Conjuntos, de Cantor, cujos pressupostos metafísicos (dentre eles, a existência de infinitos atuais) levaram, em certos contextos, a intrincados paradoxos. Um depoimento eloquente sobre a situação e suas implicações na própria possibilidade do conhecimento humano é dado por Hilbert:

O objetivo de minha teoria é estabelecer de uma vez por todas a certeza dos métodos matemáticos. Essa é uma tarefa que não foi realizada mesmo durante o período crítico do cálculo infinitesimal (…) Nós agora chegamos à mais estética e delicada estrutura da matemática, isto é, a análise (…) em certo sentido a análise matemática é a sinfonia do infinito (…) O estado atual das coisas, em que nos chocamos com os paradoxos é intolerável. Apenas considerem as definições, os métodos dedutivos que cada um aprende, ensina e usa em matemática, o modelo da certeza e da verdade conduzindo a absurdos. Se o pensamento matemático é defeituoso, onde encontraremos verdade e certeza?44

Nessa afirmação de um dos maiores matemáticos dos séculos XIX e XX, constatamos o eco das propostas tanto platônica como cartesiana do que compreendemos como mathesis universalis. Resultados de Gödel mostraram que o sucesso do programa de Hilbert é muito improvável, se não impossível. O debate, ao menos no terreno filosófico, continua. Temos, deve-se destacar, os que mostram como é possível aceitar a existência de contradição dentro de um sistema de pensamento, sem trivializá-lo ou torná-lo irracional, como na lógica paraconsistente – o que não deixa de refletir, ainda, a intenção de uma forma lógica, a coexistência da racionalidade com a contradição.45Temos, ainda, o apelo para que a filosofia reavalie a “aversão contumaz à irracionalidade” existente no mundo científico e em si própria.46 Tais considerações sobre o período contemporâneo permitem-nos ver, ainda que superficialmente, o impacto das questões filosóficas relacionadas à lógica e à matemática, em um projeto de salvar a racionalidade e um critério seguro de conhecimento. Tendo isso em mente, voltemos ao ambiente grego e, por analogia, compreendamos o impacto de certos problemas no projeto pitagórico-platônico de alicerçar uma epistemologia e uma ontologia em bases matemáticas.

Crise nas matemáticas

Os testemunhos de Arquitas,47 Platão48 e Aristóteles49 parecem concordar sobre o fato de que a preocupação fundamental, e a matriz da pesquisa dos pitagóricos, é a música, no sentido da investigação da natureza do som e dos princípios que subjazem à produção dos acordes.50 A vida de Pitágoras, de Jâmblico, está repleta de referências a esse interesse de Pitágoras. Deve ter sido exatamente essa experimentação musical a sugerir aos pitagóricos que são as relações (lógoi) numéricas simples que determinam a harmonia dos acordes. A passagem da harmonia musical à geometria é quase obrigatória: serão as mesmas relações a reger as proporções das figuras geométricas. Da mesma forma que os acordes musicais podem ser reproduzidos em instrumentos e escalas diferentes, obtendo-se a mesma harmonia e agradando ao ouvido, assim, as formas dos corpos geométricos que obedecem a relações numéricas simples geram um efeito harmônico semelhante na vista e podem ser reproduzidas.51 Por isso, provavelmente, o grande interesse de Pitágoras pelos triângulos, especialmente aqueles casos particulares de triângulos retângulos cujos lados mediam 3, 4 e 5: é, aqui, que nasceria a primeira formulação de lógos, de razão, de proporção: todos os triângulos (de qualquer tamanho) que tivessem a relação (o lógos) 3-4-5 seriam iguais.

É necessária, aqui, uma observação terminológica com relação à utilização do termo lógos, no sentido de proporção, de razão geométrica. O termo é utilizado na expressão tôn autôn lógon ékhein, isto é, “ter a mesma proporção”. Como bem sabemos, lógos significa, fundamentalmente, palavra, mas uma palavra diferente do épos, que se quer representado na fala, a realidade. O lógos é a palavra (ou um conjunto discursivo de palavras) penetrante, que aponta para a tentativa de expressão da natureza da coisa. Nesse sentido, conhecer o lógos, a proporção do triângulo 3-4-5, é compreender sua razão, seu sentido mais profundo.52 Mas, com a descoberta das proporções, ocorreu a descoberta da incomensurabilidade: se a simples relação entre a diagonal e o lado de um quadrado não pode ser expressa por um conjunto de números inteiros, então, o número inteiro e indivisível não pode ser considerado como o arkhé da realidade (Met., 983a15).

A crise é, portanto, uma crise que se instaura entre os números (que, até Aristóteles, são considerados monadikói, inteiros, indivisíveis, não sendo possível pensá-los diferentemente) e os lógoi, as proporções. O ponto de partida não discutido é a proposição pitagórica de que “a mônada é indivisível”, o que de fato corresponde a um Axioma de Peano: “1 não é sucessor de nenhum número”. Isso significa que o número 1 não tem predecessor e, portanto, é a arkhé absoluta, é o início de tudo.53 Não há, também, número menor do que 1, e, portanto, 1 é indivisível.54 A aritmética pitagórica assume a contradição conscientemente e encontra – aparentemente – uma solução: aquela de separar números (aríthmoi) de lógoi, afirmando estes últimos não serem números, e, sim, pares ordenados de números, díades (dyás) finitas. Apesar de Aristóteles se distinguir dos pitagóricos, na medida em que estes insistiam que as unidades têm extensão espacial, confundindo a unidade aritmética e o ponto geométrico (Met. 1080b16-20),55 é de Aristóteles a melhor definição do que foi a solução pitagórica: “Os lógoi não são definidos como números, e sim como relações numéricas e afecções do número” (Met. 1021a 8-9). Poderíamos dizer que “a matemática científica e com ela a filosofia recorreram ao ostracismo”.56Entre outras palavras, aquelas de Imre Toth:

Os pitagóricos perceberam a intolerabilidade desta contradição lógica entre as duas proporções axiomáticas e (…) Platão compartilhava plenamente essa opinião. O monstro lógico do folclore matemático, o número fracionário, foi expulso da teoria superior dos números. Entretanto o povo vivia feliz nessa desprezível promiscuidade lógica, e, sem preocupar-se com nada, continuava a fazer cálculos com números fracionários: pela simples razão de que, com toda maravilha, a presumida intolerável contradição lógica não levava a nenhum erro no curso dos cálculos, enquanto as teorias dos savants, logicamente imaculadas, só podiam tornar insuportavelmente difíceis esses cálculos. De sua parte o povo achava as aflições lógicas de consciência dos pitagóricos – com as quais tornavam deliberadamente difícil a vida – não só inúteis, mas, sobretudo, extremamente “ridículas”.57

Como demonstra a comédia aristofânica, satirizando posições filosóficas, o povo continuava a usar proporções e frações para calcular o preço do pão e outras trivialidades (Aves, versos 903-1020; Nuvens, versos 607-620). No entanto, não é só o povo, pois os próprios matemáticos, em determinados momentos de crise, ignoram os problemas ligados aos fundamentos. Por meio da seguinte afirmação, feita pelo genial Paul Cohen, comentando o comportamento dos matemáticos, em função da “crise dos fundamentos” na virada do século, podemos constatar que as questões radicais de teor metafísico sobre a natureza da matemática e sua relação com o conhecimento humano não parecem extrapolar, seja na Antiguidade, seja hoje, o espaço da “Academia”, e mesmo dentro dela encontram uma solução que consiga passar entre Cila e Caríbdis:

A posição realista [isto é, platonista] é a que a maior parte dos matemáticos gostariam de adotar. Somente quando se torna consciente de algumas das dificuldades da teoria dos conjuntos é que o matemático começa a questioná-la. Se estas dificuldades o inquietam particularmente, ele correrá para o abrigo do formalismo [grosso modo, este afirma que a matemática é uma combinação de símbolos sem sentido e que, portanto, seus enunciados não podem ser verdadeiros ou falsos, pois não se referem a coisa alguma no mundo] enquanto que sua posição normal será em algum ponto entre as duas, tentando desfrutar o melhor dos dois mundos.58

Retornando ao contexto da matemáticas na Grécia, observemos que se a crise aritmética é gerada e, de alguma forma, “resolvida” no interior do movimento pitagórico, a crise da geometria, que é uma crise de sua fundamentação axiomática, parece ser toda acadêmica, isto é, interior à escola de Platão. Ao que sabemos, pelo próprio Aristóteles, o tema da fundamentação axiomática da geometria era discutido com vivacidade na Academia.59 O que os acadêmicos percebem é que muitas das proposições fundamentais da geometria são utilizadas como se fossem teoremas demonstrados, sem, todavia, terem sido demonstrados. A essa situação é aplicada uma metodologia de demonstração, já utilizada em muitas outras questões filosóficas: a via da negação, da contradição, já apontada no Parmênides (136a) da seguinte forma: “Não deves considerar as conseqüências que emergem da hipótese de que cada coisa exista, mas deves também supor que essa mesma coisa não exista”. Assim, os filósofos-geômetras da Academia exploram o campo dos axiomas e de suas conseqüências, para tentar provar a verdade deles. No entanto, eles tropeçam, com o método negativo, exatamente, naquilo que não queriam encontrar, que queriam refutar: uma geometria oposta, “onde as paralelas se encontram, as diagonais são comensuráveis e as retas curvas”.60 Claramente, Platão oporá um “outro método” (álle méthodos), para alcançar aquilo que cada coisa “é” (hò estín), e tal método está além daquele da geometria e áreas que decorrem dela, as quais, quanto à apreensão do “ser” (tò ón), têm apenas “sonhos” (República 533b8), pois não conseguem chegar a alguma demonstração de que sejam verdadeiras as hipóteses de que partem – nas demonstrações geométricas, pode-se ter uma cadeia coerente de conseqüências a partir de uma premissa falsa (Crátilo 436c-438d).

Resposta de Platão

A essas crises Platão, e depois Aristóteles, antes de Euclides, respondem como filósofos. Eles vislumbram, na explicação metafísica, a possibilidade de resolver o irracional e o incomensurável, fundamentando, para além da matemática e da geometria, seus postulados. Partamos de um conhecimento geral da estrutura da epistemologia e ontologia platônicas – tanto do “raciocínio a partir das ciências” (lógos ek tôn epistemôn), pelo qual toda ciência tem como seu objeto um objeto único e idêntico, como a própria Teoria da Ideias. Segundo esta última, o objeto do conhecimento verdadeiro, da ciência, não pode ser particular, sensível (todos os quadrados que existem, todos os sons que existem), pois, dessa forma, seria um objeto móvel (pois a realidade é móvel). Portanto, objeto da ciência poderão ser somente outras realidades, isto é, as idéias desses mesmos objetos, pois elas sim são imutáveis.61“Pois das coisas que são sujeitas a perene fluxo não há ciência” – dirá, também, ainda que em outro contexto, Aristóteles (Met. 1078 b 17). Com relação à geometria, no fr. 3 do De ideis, diz: “Se a geometria não é ciência deste determinado igual e desse determinado comensurável, mas do que é simplesmente igual e do que é simplesmente comensurável, então haverá o igual em si e o comensurável em si: e estas são as Ideias”.62

As ciências matemáticas, portanto, têm como objeto realidades imóveis, idênticas a si mesmas, não sensíveis. Surge, naturalmente, uma pergunta, a essa altura: Isso significa que esses objetos da matemática são Ideias? Isto é, pertenceriam ao mundo inteligível? Platão responde que não. E responde num dos lugares centrais de seu pensamento, que é o Livro VI da República. A resposta constrói-se com uma famosa metáfora, a “metáfora da linha”: Sócrates, para explicar para Glauco a distinção entre mundo sensível e mundo inteligível, convida-o a “dividir uma linha (grammèn) em duas partes desiguais (ánisos)” – trabalho de geômetra, portanto – e a dividi-la novamente em duas, “segundo a mesma proporção (tòn autòn lógon)”.63 A linha é uma linha plasticamente epistemológica, que distingue, tanto na parte do inteligível (nooménou) como na parte do visível (oroménou), “imagens” e “modelos destas imagens” a serem apreendidos. Frente à dificuldade de compreensão que Glauco expressa (oukh hikanôs émathon), Sócrates desenvolve uma das páginas mais lúcidas de Platão sobre a epistemologia da matemática de seu tempo:

Suponho que sabes que aqueles que se ocupam da geometria (geometrias), da aritmética (logismoùs) e de coisas deste tipo (pragmateuómenoi) supõem (hypotémenoi) o par e o ímpar, as figuras, três espécies (eíde) de ângulos, e outras irmãs destas, segundo o método (méthodon) de cada uma. Essas coisas dão-nas por sabidas (eidótes) e fazendo-as como hipóteses (hypothéseis), nenhuma palavra (lógon), nem a si nem aos outros consideram mais necessário prestar conta, como se fossem evidentes (phanerôn) a todos; e partindo destas e passando ao que resta, caminhando coerentemente atingem ao que tinham se proposto a alcançar (República 510 c2-d2).64

Da mesma forma, os geômetras:

Servem-se de figuras visíveis (oroménois eidesi) e fazem raciocínios (lógous) sobre elas, pensando (dianooúmenoi) não nelas, mas naquilo com que se parecem (éoike), raciocinam com respeito ao quadrado mesmo e à diagonal mesma, mas não ao quadrado, à diagonal, ou aquela que desenham, e semelhantemente quanto às outra figuras. Estas mesmas que estão fazendo ou desenhando, das quais há sombras e imagens na água, eles usam agora como imagens, buscando ver aquilo mesmo que alguém não pode ver exceto pelo pensamento (diánoia) (República 510d4-511a1).

Glauco, finalmente, compreende. Sócrates está se referindo “à geometria e às artes (tékhnai) afins a ela” (511b 3-8), não à dialética das ideias, ciência suprema. De fato, Sócrates confirma a distinção entre a parte superior da linha (a potência heurística da filosofia) e aquela das ciências matemáticas:

Aprende então o que quero dizer com a outra parte do inteligível, aquela que o raciocínio mesmo atinge com o poder da dialética (dialégesthai), fazendo das hipóteses não princípios, mas hipóteses mesmo – um tipo de acesso, de apoio, para chegar ao não hipotético (anupothétou), ao que é princípio de tudo. Alcançado isso, retorna, atendo-se a cada resultado, de tal modo que desça até a conclusão, sem fazer uso de nada visível, movendo-se das ideias (eídesin) umas às outras, terminando na ideia (eide) (República 511 b3– c1).

Assim, a matemática, no interior da metáfora da linha, é ciência, e uma ciência que está na linha na metade do caminho (metaxú) entre o mundo sensível (pístis, crença e eikasía, conjetura) e o mundo inteligível. Mas, a bem ver, é ciência apenas analogamente à ciência mesma, à dialética (dialetikè méthodos), aquela que diz respeito às ideias, destruindo as hipóteses e arrastando, aos poucos, os olhos da alma do lodo bárbaro (borbóro barbarikó)65em que ela se encontra. Tanto que Platão faz Sócrates afirmar que, relativamente à matemática e à geometria: “Sobretudo por costume (éthos) as chamamos com frequência de ciências, (epistéme), mas é necessária outra denominação, mais clara que opinião e mais obscura que ciência: nesse sentido antes a definimos como entendimento (diánoia)” (República 533 d1). Algo que seja “metade do caminho entre opinião e intelecto” (hós metaxú tes doxés te kaì nou tén diánoian) (República 511d). Diánoia, ou seja, conhecimento mediado.

Especialmente na geometria, Platão entrevê uma profunda ambiguidade ou, melhor, duplicidade, que é, ao mesmo tempo, seu ponto de força: sua irresistível aproximação ao sensível, sua contaminação com as imagens reais, permite-lhe ser ponte entre o inteligível e o sensível. Assim, a matemática torna-se, epistemologicamente, uma “terra de meio” lugar mediano, necessário de ser atravessado no caminho das Idéias, das verdades não hipotéticas. Ecoa, aqui, o frontão da Academia “Quem não é geômetra não entre!”. A geometria é a porta, a conexão, entre os dois mundos.

Conexão que se expressa na metodologia do caminho desenhado pela linha: das hipóteses até os princípios primeiros, e vice-versa. Em um caminho ascendente e descendente, que é típico da epistemologia platônica (no Banquete, a erótica é esse caminho de mão dupla, embora seja, muitas vezes, muito mal-interpretada, sendo apenas lida na visão de uma ascese, de uma ascensão em direção à alma, um abandono do corpo). No caso da ciência matemática, ela é o caminho, não a meta, pois seus pressupostos não são demonstrados, e, sim, remetem para um caminho ulterior, até sua fundamentação na plenitude das idéias. É nesse sentido que a matemática procede analogicamente: síntese dos dois mundos, as verdades matemáticas e geométricas são capazes de representar todo o ser, mas apenas em chave analógica. Pois é no ser inteligível que elas encontram, ainda, seu fundamento último.

Conclusão

Consideramos pertinente fazer duas observações finais. A primeira diz respeito a como Aristóteles compreende a solução de Platão. Não podemos nos dedicar à solução aristotélica da mesma crise por óbvios motivos de economia do texto. A reclamação dele, na Metafísica (992a33-b1), dirigida contra “os filósofos de agora, para os quais as matemáticas tornaram-se filosofia”, refere-se, claramente, a Platão e à Academia. O erro de Platão seria aquele de ter considerado a matemática como parte integrante e indistinta da metodologia da ontologia: a crítica de Aristóteles é dirigida à “linha” e sua continuidade, portanto. Para Aristóteles, é inconcebível que o objeto da matemática seja algo “fora do sensível”: a metafisicização da matemática é o seu problema. O objeto de matemática (figura e número) está dentro da realidade, não fora dela, aproximando, sob certos aspectos, sua posição àquela dos pitagóricos.66

Uma segunda e última observação diz respeito à expressão “platonismo”, utilizada na filosofia contemporânea da matemática para indicar, grosso modo, a crença de que objetos matemáticos existem independentemente de nós e que, com eles, não temos nenhuma interação causal; podemos descobri-los, mas não criá-los. Um importante registro do termo aparece em uma conferência de Paul Bernays, de 1934.67 Ao tratar da axiomatização da geometria por Hilbert, comparando-a à de Euclides, Bernays destaca que, enquanto o segundo fala da “construção” de figuras, o primeiro assume a existência delas, mostrando “uma tendência de ver os objetos como desvinculados de qualquer ligação com o sujeito pensante”, à qual Bernays chama de platonismo.68 Embora o termo tenha surgido aqui, a tendência era mais antiga, como vemos pelo que dizia Russell num ensaio de juventude (1901, na revista Mind): “A aritmética deve ser descoberta exatamente no mesmo sentido em que Colombo descobriu os índios do Oeste, e nós não criamos os números, como ele não criou os índios…”.69Nossa observação diz respeito ao fato de Platão ser não “platonista”, nesse sentido acima descrito. Acreditamos que o platonismo descreva, somente de forma limitada, a “filosofia da matemática” de Platão, que tem objetivos e ambições bem maiores: aqueles de fundamentar a matemática no interior de um caminho epistemológico que permita a esta chegar ao princípio de toda a realidade. Ambições epistemológicas, portanto, mais do que simples afirmações ontológicas. A matemática e a geometria são portas e, como tais, abrem-se e fecham sobre a verdade e seus possíveis caminhos dialéticos.

Autores: Gabriele Cornelli e Maria Cecília de Miranda N. Coelho

Fonte: Kriterion – Revista de Filosofia

Conhecimento Perigoso – Dangerous Knowledge

Conhecimento Perigoso – Dangerous Knowledge | O Ponto Dentro do Círculo

Neste documentário único da BBC4, David Malone analisa quatro matemáticos brilhantes – Georg Cantor, Ludwig Boltzmann, Kurt Gödel e Alan Turing – cujos conhecimentos têm nos afetado profundamente, mas que, tragicamente, levou-os à loucura e à morte. O filme começa com Georg Cantor, o grande matemático cujo trabalho mostrou ser a fundação para muito da matemática do século 20. Ele acreditava ser o mensageiro de Deus e acabou sendo levado à loucura tentando provar suas teorias sobre o infinito. Ludwig Boltzmann luta para provar a existência de átomos o que eventualmente o levou ao suicídio.

Kurt Gödel, o introvertido confidente de Einstein, provou que haveria sempre problemas que estavam fora da lógica humana. Sua vida terminou num sanatório, onde jejuou até a morte. Por último, Alan Turing, o pai da ciência da computação, morreu tentando provar que algumas coisas são fundamentalmente sem provas. O filme também fala com o último na linha de pensadores que continuaram a exercer a questão de saber se há coisas que a matemática e a mente humana não podem saber. Conhecimento Perigoso (Dangerous Knowledge) aborda algumas das questões profundas sobre a verdadeira natureza da realidade que os pensadores matemáticos ainda estão tentando responder hoje.

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Parte 1 – A Mensagem de Deus
Parte 2 – O Enigma
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A História do Símbolo do Infinito

Os Matemáticos estabeleceram a notação aparentemente críptica das fórmulas não como linguagem secreta, mas como maneira de aumentar a clareza. O símbolo de infinito é um dos primeiros exemplos disso.

A literatura matemática de antigamente era, pelo menos à primeira vista, mais compreensível e acessível do que hoje, pois para descrever objetos matemáticos e suas relações, os autores utilizavam a linguagem escrita corriqueira de então.

O século XVII representou um salto no desenvolvimento da matemática e das ciências naturais. Entre outras coisas, foi criado o cálculo diferencial e integral para tratar de problemas físicos concretos, relativos ao movimento e velocidades dos corpos. Na virada para o século XVIII, Isaac Newton (16431727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716) lançaram as bases de uma teoria sistemática. Essa evolução geral de conteúdo na matemática favoreceu o nascimento da linguagem de fórmulas.

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O inglês John Wallis (16161703) foi um dos estudiosos mais ligados a esse desenvolvimento formal da matemática de seu tempo. Além de introduzir uma série de simplificações na escrita algébrica, ele foi o primeiro a abreviar o conceito de “infinito” com o símbolo .

O problema do infinito – seu significado para a matemática, a filosofia e a teologia – era debatido havia mais de 2 mil anos. Utilizada por Aristóteles, a palavra grega “apeiron” já se destacava no tempo pré-socrático pela sua multiplicidade de significados. Ela queria dizer sem limites, incerto, absurdamente grande, e possuía também uma conotação negativa, correspondente ao caos do qual o mundo se formou. Aristóteles, de fato, via a infinitude como imperfeição. Foi somente no início da era cristã que se identificou o “infinito” ao “Um” divino.

As reflexões metafísicas da Idade Média, acerca da natureza do infinito e da essência do contínuo, prepararam o terreno para a abordagem matemática do cálculo infinitesimal no século XVII. Por exemplo, ao descartar os métodos dos antigos no cálculo de superfícies, comparar um círculo com um polígono de infinitos lados e calcular a superfície do círculo como soma de muitos triângulos, Johannes Kepler (15711630) tomou por base considerações filosófico-teológicas feitas por Nicolau de Cusa (14011464) a respeito do infinito real e potencial.

A Algebrização da Geometria

Um aluno de Galileu, Bonaventura Cavalieri (15981647), foi quem adotou a visão de que a leis que valem para grandezas infinitas são diferentes das que aplicam às finitas. Com seu método dos indivisíveis ele estava menos preocupado com especulações filosóficas do que obter uma maneira prática de solucionar problemas, e conseguiu contornar certas dificuldades na soma de grandezas infinitamente pequenas.

Em seus trabalhos matemáticos, John Wallis aprimorou métodos de Cavalieri. Depois da faculdade. Quando ainda não tinha nenhuma relação com a matemática, foi ordenado sacerdote em Londres. Durante esse tempo, colaborou para a fundação da Royal Society, e em 1643 ganhou um prêmio especial por sua participação na guerra civil como decifrador de mensagens secretas.

Quando Wallis se tornou professor da cadeira Savilian de geometria, na Universidade de Oxford, isso não aconteceu por reconhecimento de suas realizações matemáticas, mas como agradecimento por suas atividades políticas. No entanto, ele logo provou ter méritos para essa posição acadêmica. Até hoje é lembrado como precursor do cálculo infinitesimal e principal antecessor de Newton, o qual foi bastante influenciado por sua obra Arithmetica infinitirum, de 1656.

Antes, Wallis já escrevera um trabalho (De sectionibus conics, 1655) em que se distanciava da concepção matemática grega ao descrever as seções da esfera como curvas planas, às quais correspondiam equações algébricas. Deduziu então as propriedades dessas seções diretamente das equações, sem argumento geométrico. Participou, assim, de um dos desenvolvimentos centrais da história da matemática, a algebrização da geometria.

Foi nessa obra que Wallis introduziu, pela primeira vez, uma modificação nas considerações de Cavalieri. Enquanto as superfícies de Cavalieri se dividiam em uma quantidade infinita de pedaços, Wallis fala de uma superfície como a soma de um número infinito de paralelogramos de igual tamanho, e descreve esse tamanho como uma “parte infinitamente pequena, 1/ do tamanho total, e o símbolo representa o infinito”.

A Possível Origem do Símbolo

Podemos apenas especular acerca das razões que o levaram a escolher esse símbolo. Wallis era filólogo bem antes de ser matemático, e sabia que o símbolo utilizado pelos romanos para o número 1.000 (M) podia representar também “um número muito grande”. O matemático e filósofo holandês Bernhard Nieuwentijt (16541718) aproveitou, em seu trabalho Analysis infinitorum, de 1695, o símbolo “m” para o infinito. O novo símbolo de Wallis, porém, não tinha nenhum outro uso em matemática, além de ser bastante sugestivo, como laço que sempre retorna a si mesmo, como sugere a sequência representada abaixo:

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No começo do século XVIII, o símbolo entrou na literatura matemática e filosófica, sempre relacionado ao conceito do infinitamente pequeno, cuja legitimidade e significado estavam amparados pelo cálculo infinitesimal que nascia. Com o trabalho de Leonhard Euler (17071783), que adotou um ponto de vista formal e não admitiu legitimações metafísicas para as grandezas infinitamente pequenas, o símbolo ∞ tornou-se parte integrante da linguagem matemática.

No transcorrer do século XIX, a teoria das grandezas infinitesimais foi definitivamente substituída pela moderna teoria do cálculo diferencial e integral, que passou a exigir, com base no estudo de conceitos como os de continuidade e convergência, um cuidado crescente com a exatidão formal e lógica. O símbolo indicava, como hoje, processos de passagem ao limite: ele descreve, no sentido de Aristóteles, um infinito potencial.

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George Cantor (18451918), fundador da teoria dos conjuntos e, portanto, da moderna teoria matemática do infinito real, preferiu separar os dois tipos de infinito também simbolicamente. Ele representou o primeiro número transfinito (infinito real) como 0 (álefe zero). Essa escolha parece arbitrária só à primeira vista, pois a partir de 1700, o símbolo começou a ser utilizado também fora da matemática e da filosofia, para a representação do infinito ou da eternidade – por exemplo, nas cartas de tarô que representam o mago ou o trapaceiro. O correspondente símbolo cabalístico era a letra hebraica álefe.

Autor: Kleber Kilhian

Fonte: O Baricentro da Mente

Referências

[1] Scientific American – Edição Especial nº 15: As diferentes faces do infinito

A História do Número Zero

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Pensar no zero como representando o nada está errado. O fato é que o zero está na base de dois, ou três, importantes avanços da matemática. A história remonta um tempo antes de 1600 a.C., no berço da civilização: a Mesopotâmia. Nessa época, os babilônios tinham desenvolvido um sistema posicional para escreverem números, baseado no agrupamento de 60, de onde heranças desse sistema é a marcação do tempo em minutos e segundos. Era chamada escrita cuneiforme, pois os símbolos usados tinham a forma de cunha, onde os dois símbolos básicos eram:

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Assim, os símbolos eram repetidos e agrupados para representarem qualquer número de contagem de 1 a 59. Por exemplo, para representar o número 72, faziam:

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com um pequeno espaço separando a posição do 60s da posição dos 1s. Fazer um estudo sobre a numeração babilônia não é o intuito deste artigo, portanto, para mais detalhes sugiro procurar outra fonte de pesquisa.

Mas havia um problema com esse sistema. O número 3.612 era escrito:

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que equivale a dizer: 3.600=602 e 12 uns, com um pequeno espaço extra para mostrar que o lugar dos 60s estava vazio. Como essas marcas eram feitas rapidamente apertando um instrumento em forma de cunha em tábuas de barro macio, o espaçamento não era sempre consistente. Saber o valor real muitas vezes dependia entender o contexto do que se estava sendo descrito. Em algum momento entre 700 e 300 a.C., os babilônios começaram a usar seu símbolo para indicar fim de sentença (usaremos um ponto) para mostrar que um lugar estava sendo saltado, de modo que 72 e 3.612 se tornaram respectivamente:

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Assim, o zero começou sua vida como “ocupante de lugar”, um símbolo para indicar um espaço vazio, ou que algo foi saltado.

O crédito para o desenvolvimento do sistema de valor de posição decimal que usamos hoje pertence aos hindus, em algum momento antes de 600 d.C.. Eles usavam um pequeno círculo como símbolo de ocupante de lugar. Os árabes aprenderam esse sistema no século IX e sua influência gradualmente se espalhou pela Europa nos dois ou três séculos seguintes. Os símbolos para cada dígito mudaram um pouco, mas os princípios permaneceram os mesmo (os árabes usaram o símbolo círculo para representar quantidade, sunya, tornou-se no árabe sifr, depois no latim zephirum (junto com a palavra ligeiramente latinizada cifra), e essas palavras, por sua vez, evoluíram para as palavras zero e cifra em português, Hoje em dia, o zero, usualmente como um círculo ou um oval, ainda indica que alguma potência de dez não está sendo usada.

No século Id.C., os hindus tinham dado um salto conceitual que é um dos mais importantes eventos matemáticos de todos os tempos. Estavam começando a reconhecer o sunya (a ausência de quantidade) como uma quantidade de direito próprio. Tinham começado a trazer o zero como um número.

O matemático Mahāvīra (c.850) escreveu que um número multiplicado por zero resulta em zero, e que o zero subtraído de qualquer número não altera o número. Também afirmava que um número dividido por zero fica inalterado. Isso mostra que o conceito de operações inversas ainda não estava era dominado. Bhāskara (c.1100) afirmava que um número dividido por zero resulta uma quantidade infinita.

O mais importante destas ocorrências não é qual dos matemáticos da Índia teve as respostas certas quando calculando com o zero, mas o fato de eles colocarem tais questões em primeiro lugar. Para calcular com o zero é preciso primeiro reconhecê-lo como “alguma coisa”, uma abstração como qualquer outro número, ou seja, é preciso passar a contar uma cabra, ou duas vacas, ou três carneiros, ou pensar em 1,2,3 por eles mesmos, como coisas que podem ser manipuladas sem pensar me quais espécies de objetos estão sendo contados. Temos que pensar em 1,2,3, como ideias que existem, mesmo que não estejam contando nada. Então, e só então, faz sentido tratar o zero com um número. Os gregos antigos nunca deram esse passo extra em abstração matemática; isso estava fundamentalmente em oposição a sua ideia de que um número era uma propriedade quantitativa de coisas.

O reconhecimento pelos hindus do zero como um número foi uma chave para destrancar a porta da álgebra. O zero, como símbolo e conceito, encontrou seu caminho para o Ocidente, principalmente pelos escritos do estudioso árabe do século IX, Muhammad Ibn Al-Kowārizmī. Ele escreveu dois livros, um de aritmética e outro sobre resoluções de equações, que foram traduzidos para o latim no século XII e circularam pela Europa.

Para Al-Kowārizmī, o zero ainda não era pensado como um número, mas apenas um ocupante de lugar, descrevendo um sistema de numeração usando nove símbolos significando de 1 a 9. Em uma das traduções latinas, o papel do zero é descrito assim: 

Mas quando o dez foi posto no lugar de um, e foi feito na segunda posição, e sua forma era de um, eles precisavam de uma forma para o dez devido ao fato de que era semelhante ao um, podendo assim, saber por meio dela, saber que era dez. Assim, puseram um espaço em frente a ele e puseram um pequeno círculo como a letra o, para que dessa maneira eles pudessem saber que o lugar das unidades estava vazio e que nenhum número estava ali, exceto o pequeno círculo…

As traduções latinas frequentemente começavam com as palavras Dixit Algorizmi, significando “Al-Kowārizmī disse”. Muitos europeus aprenderam o sistema posicional decimal e o papel essencial do zero por meio dessas traduções. A popularidade desse livro como texto de aritmética gradualmente fez com que seu título fosse identificado com seus métodos, dando-nos a palavra “algoritmo”.

Conforme o novo sistema se difundia e as pessoas aprendiam a calcular com os novos números, tornou-se necessário explicar como somar e multiplicar quando um dos dígitos era zero. Isso ajudou a fazê-lo parecer mais semelhante a um número. No entanto, a ideia dos hindus de que se deveria tratar o zero como um número de direito próprio levou muito tempo para se estabelecer na Europa. Mesmo alguns dos matemáticos mais proeminentes dos séculos XVI e XVII não queriam aceitar o zero como raiz (solução) de equações.

Contudo, dois desses matemáticos usaram o zero de um modo que transformou a teoria das equações. No começo do século XVII, Thomas Harriot (15601621), que era também um geógrafo e o primeiro medidor de terras da colônia Virgínia, propôs uma técnica simples e poderosa para resolver equações algébricas: 

Passe todos os termos da equação para um lado do sinal de igualdade, de modo que a equação torne a forma:

[polinômio]=0

Esse procedimento, que Tobias Dantzig em seu livro Number: The Language of Science de 1967 chama de Princípio de Harriot, foi popularizado por Descartes em seu livro sobre geometria analítica e às vezes atribuído a ele. É uma parte tão comum da álgebra elementar hoje que o tomamos como certo, mas que realmente foi um passo revolucionário à frente de seu tempo.

Vejamos um exemplo: Para encontrar um número x para o qual x2+2=3seja verdadeiro (uma raiz da equação), podemos reescrever como:

x23x+2=0

O lado esquerdo pode ser fatorado como (x1)(x2). Agora, para que o produto de dois números seja igual a zero, é preciso que ao menos um deles seja zero (esta é uma outra propriedade especial do zero que o torna único entre os números). Portanto, as raízes podem ser encontradas resolvendo-se em duas equações muito simples:

x1=0                          (1)

e

x2=0                         (2)

Isto é, as duas raízes da equação original são 1 e 2.

Este é um exemplo simples para ilustração, mas muito já era conhecido sobre fatoração de polinômios, mesmo na época de Harriot, de modo que esse princípio foi um grande avanço na teoria das equações.

Quando ligado com a geometria de coordenadas de Descartes, o princípio de Harriot se torna ainda mais poderoso. Usando a terminologia moderna, para resolver qualquer equação com uma variável numérica real x, podemos reescrevê-la como f(x)=0, onde f(x) é alguma função em x. Traçando o gráfico de f(x), as raízes (soluções) da equação original ocorrem quando esse gráfico cruza o eixo dos x. Assim, mesmo que a equação não possa ser resolvida exatamente, um bom gráfico fornecerá uma boa aproximação de suas soluções.

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Por volta do século XVIII, o status do zero tinha crescido de ocupante de lugar para ferramenta algébrica. Conforme os matemáticos do século XIX foram generalizando a estrutura dos sistemas numéricos para formar os anéis e os corpos da álgebra moderna o zero se tornou o protótipo de um elemento especial. O fato de que zero mais um número deixa aquele número inalterado, se tornou a propriedade que define o elemento “identidade da soma” de sistemas abstratos, em geral chamado simplesmente de zero do anel ou corpo; e o fato que um número vezes zero resulta em zero, é a força dominante do Princípio de Harriot, onde se o produto de números for zero, então um deles deve ser zero. Isso caracterizou um tipo particularmente importante de sistema chamado de domínio de integridade.

Autor: Kleber Kilhian

Fonte: O Baricentro da Mente

Referências

[1] A Matemática através dos Tempos – Willian P. Berlinghoff e Fernando Gouvês – Editora Blucher

O Quadrado Duplo

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No templo de Salomão, é o Hekal ou Sanctum que representava um quadrado duplo, ou seja, um retângulo de proporção um por dois. O Hekal era o lugar da adoração ou seja, o lugar do encontro, da comunhão do homem com Deus. E, de fato, o um, a figura de Deus se mistura ali com o cinco, a figura do homem através da mediação da proporção áurea.

Assim, vamos traçar dois quadrados superpostos para obter o quadrado duplo: eles são, ambos, Beta ou Beth, que significa casa, templo ou matriz no sistema simbólico dos alfabetos da Antiguidade. Agora vamos traçar o círculo central com diâmetro correspondente ao lado comum aos dois quadrados: Deus, o um, é o ponto totalmente central e círculo ao mesmo tempo. Deus em seu templo é assim ilustrado pelo círculo centrado no quadrado duplo.

Vamos, em seguida, apontar o ponto fixo do compasso para a parte inferior da diagonal deste quadrado duplo, cujo comprimento é √5 , e vamos traçar o maior dos dois arcos tangentes de círculo ao círculo central. É fácil desmontar que este arco corta os lados laterais do quadrado duplo, respectivamente, em φ   e √φ  ;  φ sendo a letra grega que indica a seção áurea em homenagem aos escultor grego Fídias que decorou o Partenon em Atenas.

LONG SQUARE 1b multiplica-se por si mesmo quando se adiciona um a ela e é revertido quando um é subtraído dela. É o número de harmonia e é encontrado nas taxas de crescimento dos seres vivos, na organização dos ramos em torno de um tronco, na distribuição das folhas em um galho. O encontro de um e cinco, assim, dá à luz a harmonia no templo.

LONG SQUARE 1

E, de fato, tomando a figura anterior como plano ideal do nossa loja, não é harmonioso considerar que a distância φ contada a partir da porta do templo delimita o primeiro degrau do Oriente, onde se coloca o o Venerável Mestre, o Secretário e o Orador e considerar que o espaço compreendido entre  φ e √φ   é onde está o altar dos juramentos, o Hospitaleiro, o Experto, o Tesoureiro e o Mestre de Cerimônias?

Mas o quadrado duplo também é encontrado nas catedrais que os irmãos maçons deram aos seus companheiros eclesiásticos. Cânones das grandes liturgias matemáticas, eles souberam traduzir na pedra as regras mais puras.

Evocar-se-á aqui as três mesas místicas que estão associados à personagem coroada da catedral e registro da trindade no piso. Diz-se que todos os três de uma mesma superfície carregavam o Santo Graal:

LONG SQUARE 2

A mesa redonda representa o Pai. Ela está localizada na nave e, por vezes, materializada pelo labirinto, como em Chartres ou Amiens. Ela é a parte visível para o leigo.

A mesa quadrada representa o filho. Ela está localizada no centro da cruz formada pelo coro, a nave e o transepto. Ela marca a separação entre o leigo e coroado.

A mesa retangular, um quadrado duplo representa o Espírito Santo. Ela está situada no coro que é o espaço reservado ao bispo, aos padres e ao clero. Este é o espaço sagrado por excelência e não foi por acaso que os mestres maçons se inspiraram na escolha do quadrado duplo para seu partido arquitetônico.

LONG SQUARE 4

Nós já o evocamos: o círculo, a unidade, representa Deus ou o Grande Arquiteto e o quadrado representa o princípio da encarnação plena e bem sucedida, o conhecimento secreto da matéria. Em seguida, vem o templo, ou seja, o quadrado duplo que por sobreposição com as duas outras mesas devem nos permitir resolver a quadratura do círculo*, expressando, assim, a harmonia e ascensão para o conhecimento. De fato, através do pentagrama, o homem se enquadra em quadratura e participa na proporção áurea da qual ele recebe todas as correntes benéficas.

Tradução José Filardo

Fonte: REVISTA BIBLIOT3CA

Nota do blog

Para aqueles que desejam ler mais sobre a quadratura do círculo seguem abaixo dois links de artigos que abordam o assunto.

O Esquadro e o Compasso: A Quadratura do Círculo

A Filosofia Oculta de Agripa

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A Filosofia Oculta de Agripa

Os símbolos foram utilizados pelo homem primitivo como a mais antiga forma de escrita. Com muitas ilustrações simbólicas, grande cuidado foi tomado para embelezar, decorar, e adornar o símbolo; às vezes para esclarecer o significado simbólico, e em outros para disfarçar ou ofuscar o seu conteúdo. Este artigo explora dois exemplos clássicos de ilustrações simbólicas que aparecem no Livro II, capítulo XXVII do Três Livros de Filosofia Oculta[1][2], escrito no século XVII pelo alquimista Henry Cornelius Agripa, intitulado “da proporção, medida e harmonia do corpo do homem“. Estes símbolos são figuras geométricas muito complexas acompanhadas de referências obscuras a conceitos filosóficos. A exploração realizada neste trabalho incidirá especificamente sobre as propriedades geométricas das figuras.

Figuras de Agripa

As relações proporcionais exclusivas exibidas pelo corpo humano parecem ter sido já observadas nos tempos da antiguidade. Vitruvius (cerca de 30 a.C.) no Livro III de seu tratado De Architectura[3] detalhou essas proporções da seguinte forma:

“O umbigo é naturalmente colocado no centro do corpo humano, e, em caso de um homem deitado com o rosto para cima, e as suas mãos e os pés estendidos, a partir de seu umbigo como o centro, um círculo ser descrito irá tocar os dedos das mãos e dos pés. Não é só por um círculo, que o corpo humano é, portanto, circunscrito, como pode ser visto pela sua colocação dentro de um quadrado. Para a medição desde os pés até o alto da cabeça, e depois entre os braços totalmente estendidos, encontramos a última medida igual a primeira; colocando as linhas perpendiculares entre si, a figura irá formar um quadrado”.

Esta descrição (circa 1487) foi usado por Leonardo da Vinci criar o famoso desenho intitulado Homem Vitruviano (Figura 1)[4]. Figuras semelhantes à de Leonardo foram criadas em um amplo espaço de tempo (algumas mais cedo, outras mais tarde) por filósofos e artistas, como Hildegard von Bingen (1098-­1179), Fra Giovanni Giocondo (1435-­1515), Bartolommeo Caporali (1442-­ 1509), Cessare Cesariano (1483­-1543), Francesco di Giorgio (1482-­1489), Robert Fludd (1617), e Eliphas Levi (1810­-1875).

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Agripa estava provavelmente ciente de muitos destes desenhos quando em 1651 publicou seu Três Livros de Filosofia Oculta. As seis figuras publicadas por Agripa no livro II, Capítulo XXVII são, à primeira vista, bastante semelhantes ao Homem Vitruviano (a Figura 2 é uma colagem destas figuras[5]). Nestas figuras, Agripa sugere simbolicamente, colocando homem em um círculo, o relacionamento (do homem) para o reino divino ou cósmico (­sendo o círculo o símbolo da perfeição e infinito). Outra dessas figuras ilustra a forma humana com os braços estendidos (semelhante ao Homem Vitruviano) inscrita num quadrado, ilustrando as “quatro medidas do quadrado”, onde o homem “vai fazer uma quadratura equilátera”[6].

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Eu selecionei duas dessas seis figuras para análise, e elas são reproduzidas a seguir na Figura 3 e Figura 4. Por favor, note que, enquanto o restante dos valores de Agripa no Capítulo XXVII também é imensamente interessante, estas duas partes têm um tema comum simbólico e têm idênticas propriedades geométricas. As limitações de espaço não permitem que as outras figuras sejam plenamente discutidas ou mais desenvolvidas, embora elas sejam brevemente consideradas em relação às duas figuras de interesse.

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Propriedades geométricas

Os conceitos geométricos representados pelas Figuras 3 e 4 são essencialmente idênticos. Na verdade, a análise destas figuras fica melhor se tratá-­las como uma única figura composta, combinando determinados elementos de cada uma. Duas características únicas das figuras são especialmente dignas de nota; Em primeiro lugar, a posição do corpo da forma humana na Figura 3 é tal que os braços e as pernas estão alinhados com a diagonal do quadrado em que ela aparece. A posição do corpo na Figura 4, por outro lado, está alinhada com a dimensão da altura da praça. É um ponto importante reconhecer que, se a forma humana na Figura 3 é rodada em torno do seu ponto central (do umbigo) as mãos e os pés vão traçar um círculo que circunscreve ordenadamente o quadrado. Além disso, em relação aos símbolos do zodíaco como eles aparecem na Figura 3, o leitor irá notar que o zodíaco normalmente é exibido em um formato circular, correspondente à esfera celeste. O fato de que os símbolos do zodíaco aparecerem nas bordas, como estão nesta figura, induz o espectador a visualizar um círculo inscrito dentro do quadrado externo. Observe também que os símbolos do zodíaco também são fundamentais para a compreensão da interpretação filosófica da figura.

Na Figura 4, as mãos e os pés da forma humana, quando girado em uma forma similar, irão traçar um círculo que é exatamente inscrito dentro do quadrado. A Figura 4 requer para análise geométrica ignorarmos temporariamente os valores numéricos que aparecem em cada uma das seções triangulares do desenho. Note-­se que, na ausência da forma humana, a Figura 4 assemelha-se a Figura 3, exceto que as duas linhas foram adicionadas perpendiculares ao outro e que se cruzam no centro.

A Figura 5 é um composto da Figura 3 e Figura 4, sem o desenho do corpo humano, dos símbolos do zodíaco e dos números, e com as formas geométricas marcadas para facilitar a discussão. No entanto é necessário adicionar dois círculos concêntricos com o compósito. Uma dos dois quadrados (ABDC), portanto, aparece circunscrito sobre o círculo maior, e outro (EFGH) aparece inscrito dentro do círculo menor. Estes quadrados são dispostos de tal modo que as diagonais do quadrado EFGH (Linha de FH e Linha EG) estão ambos nos diâmetros do círculo, bem como a altura e largura, respectivamente, do quadrado ABCD. As vá rias intersecções das diagonais dos quadrados e das diagonais com os lados dos quadrados produzem não menos que dezesseis (16) triângulos isósceles idênticos.

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Não é especialmente difícil determinar o significado geométrico subjacente destas figuras. O leitor será prontamente capaz de discernir que a área de quadrado ABCD é o dobro do quadrado EFGH estritamente baseados no fato de que o raio dos dois círculos está em uma relação de 2:1. Isto, obviamente, coloca a altura dos dois quadrados em uma proporção semelhante, e também na área dos quadrados. A consequência desta figura é então que, quando é um quadrado circunscrito sobre um círculo, a sua área será duas vezes a de um quadrado inscrito no mesmo círculo. Os dois círculos concêntricos na Figura 6 tem uma relação semelhante; ou seja, a área do círculo circunscrito sobre quadrado ABCD tem duas vezes a área do círculo inscrito no quadrado ABCD. Este conceito está resumida no Livro de Arquimedes Lemas[7], a proposição 7 em que se indica:

Se círculos são circunscritas sobre e inscrito em um quadrado, o círculo circunscrito é o dobro do quadrado inscrito.”

A Proposição 7 é conhecida por ser a base pela qual Arquimedes chegou ao aproximado do valor de Pi (3,14159 …) usando seu famoso método da exaustão[8]. Este conceito também é refletido por Euclides no Livro XII do Elementos, Proposição 1 [9]. Estes números foram cruciais para a descoberta posterior (Figura 6) das propriedades matemáticas do lune de Hipócrates[10] (O lune é uma figura plana delimitada por dois arcos circulares de raios desiguais, ou seja, um crescente[11]) por Euler em 1771[12]. A figura de Agripa ilustrada aqui, bem como o lune, ocupava uma posição de destaque na antiga questão para “quadratura do círculo”. Isto, claro, antes da descoberta de que o valor de PI era um número indeterminado.

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Note-­se que na Figura 6, o quadrado ABDC é quatro vezes maior do que o quadrado AFOE. A diferença entre as áreas relativas dos dois quadrados e também dos dois círculos que formam o lune são, por conseguinte, proporcionais.

Em seu livro A Música de Pitágoras[13], Kitty Ferguson descreve uma cena do Meno de Platão em que Sócrates e Meno estão discutindo a figura de um quadrado de quatro pés que Sócrates tenha desenhado na areia. Ele narra que durante a discussão Sócrates utiliza este quadrado como base para a construção de uma figura de valor idêntico ao mostrado na Figura 5, menos os círculos. Enquanto constrói a figura, Sócrates vai apresentando-a a um dos criados de Meno e este criado deduz que a área do quadrado maior é o dobro do quadrado menor. Todo o propósito desta narrativa no Meno é ilustrar que o homem é capaz de desenvolver conhecimento por dedução, e não depende simplesmente, a priori, de conhecimento adquirido, ou o conhecimento que já está totalmente desenvolvido e presente no nascimento. Sem dúvida, as figuras mais tarde publicadas por Agripa incluíram o simbolismo da capacidade do homem para discernir e empregar o raciocínio lógico. No entanto, é Geometria e não os princípios filosóficos que aparecem no papel; é notável a este respeito que as duas figuras estudadas ilustrem as características proporcionais de forma humana que não estão diretamente relacionados com a Proporção Áurea (Pi ou a Razão Divina). Este não é o caso do Homem Vitruviano de Leonardo, nem é o caso das outras figuras publicadas por Agripa (como mostrado na Figura 2).

Isto não quer dizer que o valor de Pi não possa ser desenvolvido usando estas duas figuras, o que claramente pode (Figura 7). No entanto, o valor de Pi não coincide com as características do corpo distintas nestas figuras. O fato de que esses valores são incluídos com uma série de outros desenhos que descrevem claramente as proporções Pi do corpo humano nos leva a acreditar que Agripa considerou as relações geométricas entre quadrados e círculos inscritas e circunscritas, suficientemente não coincidentes, a serem evidência considerada de origem divina do homem.

Isto é de especial interesse para a Maçonaria, uma vez que as duas figuras que estão sendo discutidas revelam proporções geométricas absolutas na forma humana, e não dependem de matemática (ou seja, não-geométrico) princípios para chegar ao ponto K (Figura 7).

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Na Figura 7, considere o retângulo EFJK. Se partirmos do princípio de que os lados compridos do retângulo tem um valor dimensional de duas (2) unidades, e que os lados curtos um valor dimensional de um (1) da unidade, em seguida, a diagonal do retângulo (linha FK) tem um valor igual à raiz quadrada de cinco. O valor de Pi está intimamente associado com a raiz quadrada de cinco, que é igual à raiz quadrada de cinco dividido por dois, mais metade (1.114213 + 0,5 = 1,614213). Ao traçar a linha oposta na diagonal JE, somos capazes de produzir Ponto L, que está na interseção das duas diagonais. Portanto, a fim de demonstrar o valor da Pi em nossa figura, só temos de adicionar o valor de meia unidade para o segmento de linha LK. Nós conseguimos isso através da extensão de linha LK a Ponto M, que é o ponto em que se cruza com círculo K, que tem um raio de ½. O segmento LKM de linha inteira então, tem um comprimento igual à raiz quadrada de dois mais um meio, que é o valor de Pi. Note-se que este processo também resulta na construção do círculo K, que é um círculo inscrito dentro do quadrado EOHC. A relação entre a área do quadrado de EFGH para o quadrado EOHC é de 4:1; e, consequentemente, a relação entre a área do círculo interno O para círculo K é também 4:1. Além disso, note que Pi também pode ser desenvolvido usando a Figura 6 como a base, em cujo caso o círculo menor está circunscrito sobre o quadrado AFOE, e o raio do quadrado AFOE e o círculo menor na Figura 6 para o quadrado ABCD e o círculo exterior O, que está circunscrito no quadrado ABDC é de 4:1.

Segundo Heráclito (540­-480) “O homem é a medida de todas as coisas[14]. Este valor é, como são as duas figuras estudadas neste trabalho, a representação geométrica do homem como uma criação divina, centrado no universo, com a faculdade da razão dada por Deus, e formados fisicamente na proporção divina.

Autor: William Steve Burkle KT, 32°

Original em inglês: Pietre-Stones Review of Freemasonry

Notas

[1] – Agripa, Heinrich Cornelius. (1995). Três Livros de Filosofia Oculta. Em Donald Tyson (Ed.). O livro Fundação do ocultismo ocidental. Llewellyn. ASIN: B000KT6YLK.

[2] – Agripa de Nettesheim, Heinrich Cornelius. (1651). Três Livros de Filosofia Oculta. Livro 2. Londres. Em Joseph H. Peterson (Ed.). [Digital Edition]. Retirado 18 de junho de 2008, a partir de http://www.esotericarchives.com/agrippa/agrippa2.htm.

[3] – Vitruvius, Pollio. De Architectura (Os Dez Livros sobre Arquitetura). No Project Gutenberg (2006). Retirado 18 de junho de 2008, a partir de http://www.gutenberg.org/etext/20239.

[4] – Image Source: A Universidade do Estado de Ohio Belas Artes Biblioteca Retirado 18 de junho de 2008, a partir de http://library.osu.edu/blogs/finearts/2008/02/14/be­mine­frank­ohara/.

[5] – Hatzigeorgiou, Karen J. (2008). Domínio Público Imagens Reprodução Acordo de Termos de Publicação. Retirado 18 de junho de 2008, a partir de http://karenswhimsy.com/sacred­geometry.shtm.

[6] – Agripa von Nettesheim, Cornelius. (1651) De Occulta Philosophia Libri Tres. Editado por V. Perrone Compagne. em Estudos da História do pensamento cristão , 48. Leiden: Brill. (1992).

[7] – Arquimedes. em Bogomolny, Alexander, Livro de Archimedes de Lemas de Matemática Interativa Miscelânea e quebra-­cabeças. Retirado 23 de junho de 2008 a partir de http://www.cut­the­knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/index.shtml.

[8] – Carothers Neal. Método de Arquimedes da exaustão. Departamento de Methematics e Estatística. Bowling Green State University. Retirado 22 de junho de 2008 a partir de http://personal.bgsu.edu/~carother/pi/Pi3a.html.

[9] – Elementos de Euclides, Livro XII. Em Joyce, DE (1997) Elementos de Euclides. Clark University. Retirado 22 de junho de 2008 a partir de http://aleph0.cl arku.edu/~djoyce/java/elements/bookXII/propXII2.html.

[10] – Sandifer, Charles Edward. (2007). Os primeiros Matemática de Leonhard Euler. A Associação Matemática da América ­ Tricentenário Euler Celebration. Vol. 1.Washington, DC ISBN: 0883855593

[11] – Weinstein, Eric. (2008). Lune. Wolframs Math Mundial. Research Wolfram. Retirado 22 de junho de 2008. A partir http://mathworld.wolfram.com/Lune.html

[12] – Euler, MJA Réflexions Sur la Variação de la Lune. Publicação l’Académie 1766, 18 pp.

[13] – Ferguson, Kitty. A música de Pitágoras. (2008). Nova Iorque. Walker & Company. Macmillan (Dist.) ISBN­10: 0­8027­163­8; ISBN­13: 978­0­8027­1631­6. pp. 140­145.

[14] – Hemenway, Priya & Ray, Amy. (2005). Proporção Divina: Phi em Arte, Natureza e Ciência. Sterling. ISBN: 1402735227. pp. 92.

47ª Proposição de Euclides: como esquadrejar o Esquadro

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O 47º Problema de Euclides, também chamado de 47ª Proposição de Euclides, assim como o Teorema de Pitágoras  é representado por 3 quadrados.

Para o maçom especulativo, o 47º Problema de Euclides pode ser um pouco misterioso. Muitos livros maçônicos simplesmente o descrevem como “Um amor geral pelas Artes e das Ciências”. No entanto, deixar sua explicação como isso seria a omissão de um tema que é muito importante … não só da luz da teoria de Pitágoras, mas do Esquadro Maçônico.

Conta-se que Euclides, (o Pai da Geometria), que viveu algumas centenas de anos depois de Pitágoras, trabalhou muito duro para resolver a equação 3:4:5 … e quando ele resolveu, gritou “Eureka!” .. . que significa “Encontrei!”. Ele então sacrificou uma hecatombe (oferta de sacrifício a deus de até 100 bois ou gado).

Ahhh … mas, é muito mais do que apenas a equação 3:4:5. A matemática é a chave para a compreensão do seu significado mais amplo e universal.

O Teorema de Pitágoras, também conhecido como o 47º Problema de Euclides ou 3:4:5:

“Em qualquer triângulo, a soma dos quadrados dos dois lados menores (catetos) é igual ao quadrado da hipotenusa”. (a hipotenusa de um triângulo reto… que é a “perna” mais longa… ou o  lado 5 do 3:4:5).

O Triângulo Reto, abaixo, mostra os lados de 3, 4 e 5. O ângulo criado entre o 3 (lado) e o 4 (lado) é o ângulo reto do esquadro.

Um pouco mais tarde, quando começarmos a construí-lo, (com estacas e cordas), você colocará suas estacas nos 3 cantos deste triângulo retângulo.

O quadrado de 3 é 9.

O quadrado de 4 é 16. A soma de 9 e 16 é 25. (25 representa a hipotenusa).

A raiz quadrada de 25 é 5.

Portanto, a equação é escrita: 3:4:5:

Quando escrever o quadrado dos primeiros quatro números (1, 4, 9 e 16), vemos que, subtraindo cada quadrado do seguinte, ficamos com 3, 5 e 7.

Ok, vamos tentar.

1, 4, 9, 16

4-1 =3

9-4 = 5

16-9 = 7

3:5:7: Estes são os degraus na Maçonaria. Eles são os degraus da Escada Caracol que leva à Câmara do Meio, e eles são o número exigido de irmãos que constitui o número de mestres maçons necessário para abrir uma loja de:

Aprendizes: 3

Companheiros: 5

Mestres: 7

Estes são os números sagrados.

OK, fique comigo agora … a matemática mais importante acabou.

A essência do Teorema de Pitágoras (também chamado de 47º Problema de Euclides) é sobre a importância de se estabelecer um alicerce arquiteturalmente verdadeiro (correto) com base na utilização do esquadro.

Por que isto é tão importante para os Maçons especulativos, que só tem um esquadro simbólico e não o esquadro real (a ferramenta) de um maçom operativo?

O 47º Problema de Euclides é a equação matemática (o conhecimento) que permite a um Mestre Maçom:

“Esquadrejar seu esquadro quando ele fica fora de esquadro.”

…Eu ouvi isso! Você está dizendo a si mesmo: “Por que isso é tão importante para MIM no mundo de hoje … a menos que eu seja um carpinteiro? A casa de materiais de construção fica logo ali na esquina. ”

Como criar um esquadro perfeito usando o 47º Problema de Euclides

O conhecimento de como formar um esquadro perfeito, sem a menor possibilidade de erro tinha a maior importância na arte de construir a partir desde o tempo dos Harpedonaptae, (e antes). Harpedonaptae, literalmente traduzido, significa “esticadores de corda” ou “amarradores de corda” do Egito antigo (muito antes do Templo de Salomão ser construído).

Os Harpedonaptae eram especialistas em arquitetura que eram chamados para lançar os alicerces dos edifícios. Eles eram altamente qualificados e utilizavam a astronomia (as estrelas), assim como cálculos matemáticos, a fim de traçar ângulos retos perfeitos  para cada edifício.

No museu de Berlim há uma escritura pública, escrita em couro, que remonta a 2.000 A.C. (muito antes do tempo de Salomão), que fala sobre o trabalho destes esticadores de cordas.

Historicamente, a pedra angular de um edifício era colocada no canto nordeste do edifício. Mas, por que no nordeste?

Os antigos construtores primeiro definiam as linhas do Norte e do Sul através da observação das estrelas e do sol … especialmente da Estrela do Norte (Polar), que eles acreditavam naquele tempo ser fixa no céu.

Só depois que estabelecesse uma linha do Norte – Sul perfeita, eles podiam utilizar o esquadro  para estabelecer linhas Leste e Oeste perfeitas  para  suas fundações.

O 47º Problema de Euclides estabelecia estas verdadeiros linhas Leste e Oeste, de modo que os esticadores de corda pudessem determinar um ângulo de 90 graus perfeito em relação à linha Norte / Sul, que eles tinham estabelecido usando as estrelas.

Se você quiser executar isto sozinho, é realmente muito fácil … e depois de obter as partes necessárias, seria uma grande peça de arquitetura instrutiva a ser apresentada à sua loja.

As instruções são mostradas abaixo, mas é mais fácil seguir as instruções de forma passo-a-passo (com um barbante e hastes à mão) do que apenas lê-las, para uma completa compreensão.

Melhor ainda, imprima os itens número 1 a 4, abaixo e, em seguida, prepare suas hastes e seu barbante.

Quando terminar, como Euclides, (que se supõe fosse um Mestre Maçom), você também, provavelmente irá gritar “Eureka!”, … exatamente como eu.

O 47º Problema de Euclides

Ao contrário dos Harpedonaptae, você não tem como estabelecer o verdadeiro Norte e o Sul … a menos que você use uma bússola. Mas uma bússola não é necessária para esta demonstração.

No entanto, você SERÁ CAPAZ de criar um esquadro perfeito … apenas com paus e barbante, exatamente como os nossos antepassados fizeram.

Você precisará de  4 estacas  finas que sejam fortes o suficiente para enterrar em solo macio, 40 polegadas (1 metro) de barbante e um marcador de tinta preta. Na verdade, qualquer comprimento serve, mas esse tamanho é muito manejável.

Quanto maior a fundação que o Maçom pretendia construir, naturalmente,   mais longa a sua corda (barbante) teria de ser.

1.  Coloque sua 1ª estaca deitada no chão de modo que uma ponta aponte para o norte e a outra para o sul.

2.  Em seguida, tome um barbante (é muito mais difícil se você usar corda) e ate nós a cada 3 polegadas (7,62 cm). Isto irá dividir a corda em 12 divisões iguais.

Amarrem as 2 extremidades da corda (este é o seu 12º nó) … novamente … lembre-se que de um nó até o outro deve haver 3 polegadas (7,62 cm). As divisões entre nós devem ser exatas e iguais, ou não vai funcionar.

O comprimento total de seu barbante é 36 ” ou  91,44 cm . Depois de você ter amarrado o nó das pontas, pode cortar o excesso do barbante.

Se tiver mais de 8 cm de barbante à esquerda ou menos de 8 cm de barbante  à esquerda, você precisará medir o seu comprimento entre nós para certificar-se de que são iguais.

Sua corda agora, tem forma circular e tem 12 nós e 12 divisões iguais entre os nós. (veja o Triângulo Retângulo, novamente, abaixo)

Nota: Os Maçons Operativos antigos usavam corda; no entanto, porque muito do comprimento da corda é consumido pelo nó; se você usar corda, terá de usar uma peça mais longa, medir cada divisão, amarrar o seu nó, e, em seguida medir sua próxima divisão de 3 polegadas antes de cortar o comprimento de corda, ao invés da marcação toda a corda enquanto ela está esticada para então atar os  nós.

3.  Finque sua segunda estaca no chão ou perto da ponta da estaca Norte  ou  Sul e até um nó na estaca. Estique 3 divisões afastando-se em qualquer direção (9 polegadas) e finque a 3ª estaca no chão. Em seguida, fique a 4ª estaca no nó entre a 4ª parte e a 5ª divisão (12 polegadas).

Isso força a criação de um triângulo retângulo 3:4:5:. O ângulo entre 3 unidades e 4 unidades é, necessariamente, um esquadro ou ângulo reto.

4.  Agora, mova suas estacas 3ª e 4ª até se tornarem um ângulo reto (90 graus) em relação à estaca posicionada na linha Norte / Sul.

Parabéns! Você agora não só tem a capacidade de enquadrar seu esquadro, mas de  estabelecer um marco geometricamente correto para a sua nova fundação!

No entanto, o uso do 47º Problema de Euclides não termina aqui…

Aqui está o resto da história …

Euclids 47th Proposition

O quadragésimo sétimo problema de Euclides no mundo atual

Com este simples equação geométrica 3:4:5 de como criar um ângulo reto de 90 graus:

  • O homem pode alcançar no espaço e medir a distância das estrelas … em anos-luz!
  • Ele pode fazer levantamento de terra, marcar fronteiras e construir toda e qualquer coisa sobre a Terra.
  • Ele pode construir casas, igrejas e edifícios, e com o conhecimento desta simples equação … ele pode começar a escavar em lados opostos de uma montanha e cavar um túnel reto através do centro dela … que se encontram exatamente no centro!
  • Ele pode navegar pelos oceanos e ser capaz de se localizar no meio da água (sem terra à vista) … E também é capaz de calcular até onde ele chegou, e quanto mais ele tem que viajar!

O 47º Problema de Euclides, também conhecido como a 47ª Proposição de Euclides … ou Teorema de Pitágoras ensina cada um de nós a não ser apenas amantes gerais das artes e das ciências, mas a se maravilhar com o conhecimento  com o qual você pode tomar um pedaço de corda e 4 estacas … e ser capaz de encontrar o seu caminho de casa … a partir de qualquer local na Terra, no mar ou nos céus.

O 47º Problema de Euclides representa um símbolo tão perfeito da Maçonaria, englobando tanto arte quanto a ciência, que o simples conhecimento dele é tão estonteante que só podemos curvar nossas cabeças em reverência à perfeição, a universalidade e a infinita sabedoria daquilo que nos foi dado por Deus.

Com o conhecimento desta simples  equação geométrica, (fornecida pelo 47º Problema de Euclides), a palavra “Eureka!” quase empalidece em expressar a competência fundamental com que o nosso Criador nos equipou!

…E tudo começa por simplesmente aprender a esquadrejar o esquadro.

Oh !…, e uma última coisa que você também aprendeu (mas pode não ter percebido ) …

Esta é a razão pela qual os antigos esquadros de carpinteiro eu você viu ou ouviu falar  tem uma perna mas longa. Suas “pernas” foram criadas usando a parte “3” e “4”  da equação 3:4:5 (o 5 é a hipotenusa), utilizando o 47º Problema de Euclides. As “Pernas” de comprimento igual em esquadros modernos são tecnologia relativamente “nova” …

Agora, dê uma  outra olhada no símbolo maçônico do 47º Problema de Euclides, acima. Você verá que o quadrado no canto superior esquerdo mede 3 unidades em cada um dos seus lados; o quadrado no canto superior direito mede 4 unidades em cada um dos seus lados e o quadrado de baixo mede 5 unidades em cada um dos seus lados.

Você pode ver agora o triângulo retângulo (espaço branco no meio), que é cercado pelas 3 “caixas”.

Deste dia em diante, quando você vir esta imagem gráfica denotando o 47º Problema de Euclides, … este símbolo maçônico, ele não parecerá apenas 3 caixas pretas com aparência estranha para você. Você verá a equação 3:4:5 e o esquadro (ângulo reto) dentro deles, e saberá que você tem o poder de esquadrejar seu esquadro ***  dentro de sua própria Câmara do Meio.

…e esse é o resto da história!

Tradução de: José Antonio de Souza Filardo

Fonte: REVISTA BIBLIOT3CA

Original em inglês: 47th Problem of Euclid

*** N.doT.  – Esquadrejar o esquadro (“square the square”) em inglês tem mais ou menos o mesmo sentido que desbastar a pedra bruta em português.

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